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311 3定积分的定义性质和几何意义培训讲学

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311 3定积分的定义性质和几何意义培训讲学定积分的定义、性质和几何意义3.1.1-33.1-3定积分的定义、性质和几何意义用矩形面积近似取代曲边梯形面积yyoa(四个小矩形)bxoa(九个小矩形)bx显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.23.1-3定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.播放33.1-3定积分的定义、性质和几何意义(1)分割在区间[a,b]内插入若干个分点,a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,把区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi],长度为?xi?xi?x...

311 3定积分的定义性质和几何意义培训讲学
定积分的定义、性质和几何意义3.1.1-33.1-3定积分的定义、性质和几何意义用矩形面积近似取代曲边梯形面积yyoa(四个小矩形)bxoa(九个小矩形)bx显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.23.1-3定积分的定义、性质和几何意义观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.播放33.1-3定积分的定义、性质和几何意义(1)分割在区间[a,b]内插入若干个分点,a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,把区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi],长度为?xi?xi?xi?1;y?Aioax1xi?1xixn?1bx直线y?xi(i?1,2,?,n?1),把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记为?Ai(i?1,2,?,n)。43.1-3定积分的定义、性质和几何意义(2)近似y在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?,ioa第i个小曲边梯形x1xi?1?ixixn?1bx的面积可用以[x为底,f(?i)为高的i?1,xi]Af(??x小矩形面积来近似,即i?i)i(3)求和nA?f(ξ)x?f()x???f(ξ)x???f(ξ)x1122iinn?????5即A??f(?i)?xi。i?13.1-3定积分的定义、性质和几何意义(4)取极限当分割无限加细,即小区间的最大长度??max{?x1,?x2,??xn}趋近于零(??0)时,n?limf(??x曲边梯形面积为A?i)i??0i?1以上四个步骤可以概括为一句话:“分割取近似,求和取极限。”63.1-3定积分的定义、性质和几何意义2、实例2(求变速直线运动的路程)设一物体作变速直线运动,已知速度v?v(t)是时间t的连续函数,且v(t)?0,求在时间间隔[a,b]上物体所经过的路程s。思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.73.1-3定积分的定义、性质和几何意义(1)分割a?t?t?t???t?t?b012n?1n?ttti?i?i?1(2)取近似?sv(??ti?i)i某时刻的速度n部分路程值(3)求和(4)取极限s??v(?i)?ti??max{?t,?t,?,?t}12ni?1nv(?i)?ti路程的精确值s?lim???0i?183.1-3定积分的定义、性质和几何意义上述两个实例,一个是几何学中的面积问题,一个是物理学中的路程问题,尽管它们的实际意义完全不同,但是从抽象的数量关系来看,它们的分析结构形式完全一样,都是函数在区间上具有特殊结构的和式的极限,对于这种和式的极限,可以抽象出新的数学概念——定积分。93.1-3定积分的定义、性质和几何意义二、定积分的定义1、定义设函数f(x)在[a,b]上有界,任取一组分点a?x?x?x???x012n?1?x?bn把区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n),在各小区间上任取一点?i?[xi?1,xi],作和式S??f(?i)?xi,其中?xi?xi?xi?1,,ni?1??max{?xx?,?x记,1,?2,n}103.1-3定积分的定义、性质和几何意义如果不论[a,b]怎样分法及?i如何选取,当??0时,和式的极限存在,则称此极限为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记作?f(x)dx,即ab积分和积分上限f(x)dx?I?limf(?)?x?ii?a??0i?1bn积分下限被积函数ba被积表达式积分变量[a,b]积分区间若定积分?f(x)dx存在,则称f(x)在[a,b]上可积。113.1-3定积分的定义、性质和几何意义定积分的定义是构造性的,本质上是一种特殊结构的和式的极限。曲边梯形的面积A是曲边函数y?f(x)在区间[a,b]上的定积分:A??f(x)dx。ab变速直线运动的物体所经过的路程s是速度函数v?v(t)在时间区间[a,b]上的定积分:s??v(t)dt。ab123.1-3定积分的定义、性质和几何意义2.定积分定义的剖析1、积分?f(x)dx仅与被积函数f(x)和积分区间[a,b]ab有关,而与区间[a,b]的分法与点?i的取法无关。2、思考:定义中??0,能否改为“n??”。3、定积分的值与积分变量无关,即?baf(x)dx??f(t)dt??f(u)duaabaabbb4、规定:当a?b时,?f(x)dx???f(x)dx;当a?b时,?f(x)dx?0。aa133.1-3定积分的定义、性质和几何意义3.三类可积函数(即定积分的存在性)(1)若f(x)?C[a,b],则f(x)?R[a,b]。反之未必。(2)若f(x)在[a,b]上有界,且在[a,b]上除去有限个点外是连续的,则f(x)在[a,b]上可积。推论:[a,b]上的分段连续函数在[a,b]上可积。(3)若f(x)在[a,b]上单调有界,则f(x)?R[a,b]。结论:若函数g?R[a,b],而函数f只在有限个点上与g的取值不同,则f?R[a,b],且?f(x)dx??g(x)dx。aabb143.1-3定积分的定义、性质和几何意义例1利用定义计算定积分2?0xdx.212解:∵x在[0,1]上连续,∴x在[0,1]上可积。i将[0,1]n等分,分点为xi?,(i?1,2,?,n)n1小区间[xi?1,xi]的长度?xi?,(i?1,2,?,n)ni取?i?xi?,(i?1,2,?,n)?f(?i)?xi??i?1i?1nnn?i?1?i?xi??x?xi?????ni?1?n?i?122inn2153.1-3定积分的定义、性质和几何意义1n(n?1)(2n?1)?i?1?1i2??????3?3?nni?1n6i?1?n?n2n1?1??1???1????,?26?n??n?1当??max?xi??0时,即n??,有1?i?nn?lim??xxdx?ii?021n2??0i?11?1??1?1?lim1??2???.??n??6?n??n?3163.1-3定积分的定义、性质和几何意义例2.用定积分的定义计算?0edx。解:∵e在[0,1]上连续,∴e在[0,1]上可积。xx1x12把[0,1]n等分,分点为x?0,x1?,x2?,…,nninxi?,…,xn??1;每个子区间的长度都是nn1i?1i?xi?,在每个子区间[,]上都取左端点为?i,nnni?1即?i?,n173.1-3定积分的定义、性质和几何意义故?f(?i)?xi??ei?1i?1nni?1n11??(1?e?e?nn1n2n?en?1n)11(e)?1n??1?(e?1)?1,nne?1en?11nn1当??max?xi??0时,即n??,有1?i?nn1n1xnedx?limf(?)??xlim[(e?1)]??e1.?ii1?0??0n??i?1ne?1183.1-3定积分的定义、性质和几何意义三、定积分的性质性质1若f(x)在[a,b]上可积,k为任意常数,则kf(x)在[a,b]上也可积,且?bbakf(x)dx?k?f(x)dx.ab性质2若f(x)与g(x)在[a,b]上可积,则f(x)?g(x)在[a,b]上也可积,且?ba[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dxaab此性质可推广到有限多个连续函数代数和的定积分,?ba[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dxaaabbb193.1-3定积分的定义、性质和几何意义性质1+2(线性性质)若函数f,g?R[a,b],k1,k2是任意常数,则函数k1f?k2g?R[a,b],且?ba(k1f?k2g)dx?k1?fdx?k2?gdx.aabb性质3(对积分区间的可加性)设函数f在某区间上可积,则f在该区间的任何子区间上也可积,并且对该区间中的任意三个数a,b,c都有bcb?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.ac3.1-3定积分的定义、性质和几何意义四、定积分的几何意义1.f(x)?C[a,b],且f(x)?0,则?f(x)dx表示ab以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积A。yy?f(x)yooababxy?f(x)bbx2.若f(x)?C[a,b],且f(x)?0,则?af(x)dx??A,或A???af(x)dx。曲边梯形的面积的负值3.1-3定积分的定义、性质和几何意义3.若f(x)?C[a,b],且f(x)有正有负时,则?f(x)dxa等于由连续曲线y?f(x),直线x?a,x?b及x轴所围成的几个曲边梯形面积的代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号。bA1A2A3A4?f(x)dx?AAAA??1234?ab223.1-3定积分的定义、性质和几何意义几何意义:它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x?a,x?b之间的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.????233.1-3定积分的定义、性质和几何意义例1.利用定积分表示图中的面积。yf(x)?1(1)解:A??dx?b?a。abao??oyy?sinxbxyy?x2?0??x?0-1o122xx?y?2(2)解:A???sinxdx??sinxdx。(3)解:A??1?12?xdx??xdx22?11243.1-3定积分的定义、性质和几何意义三、定积分的性质(续)性质4(单调性)若f(x)、g(x)在[a,b]上可积,且?x?[a,b],有f(x)?g(x),则?baf(x)dx??g(x)dxab推论1若f?R[a,b],且f?0,x?[a,b],则?baf(x)dx?0。性质5若f?R[a,b],则|f|?R[a,b],且?baf(x)dx??f(x)dx。ab253.1-3定积分的定义、性质和几何意义例2比较下列各对积分值的大小.(1)?130xdx与?xdx;(2)?xdx与?ln(1?x)dx。000331311解:(1)∵在[0,1]上x?x,∴由性质4知?130xdx??xdx。013(2)令f(x)?x?ln(1?x),1x??0,∵在[0,1]上有f?(x)?1?1?x1?x∴f(x)在[0,1]上单增,f(x)?f(0)?0,即x?ln(1?x)?0,故x?ln(1?x)。∴由性质4知?10xdx??ln(1?x)dx。01263.1-3定积分的定义、性质和几何意义性质6(估值定理)若函数f?R[a,b],且m?f(x)?M,x?[a,b],则m(b?a)??af(x)dx?M(b?a).My?f(x)b该性质的几何解释是:y曲线y?f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积介于以区间[a,b]长度为底,分别以moaM和m为高的两个矩形面积之间。b27x(此性质可用于估计积分值的大致范围)3.1-3定积分的定义、性质和几何意义例3估计积分??01dx的值.33?sinx解1f(x)?,33?sinx0?sinx?1,?3?x?[0,?],111??,343?sinx3??111dx?dx?dx,3???000433?sinx??1???dx?.3?043?sinx3283.1-3定积分的定义、性质和几何意义22x2?x2例4.证明不等式4??edx?2e。0e证:设f(x)?ex2?x,则f(x)?C[0,1]。1f?(x)?(2x?1)e,令f?(x)?0,得驻点x?,2112∵f(0)?1,f()?4,f(2)?e,2e12∴f(x)在[0,1]上的最大值M?e,最小值m?4,ex2?x∴由估值定理得:2221xx?22?(2?0)?edx?e(2??0)2e.?440ee293.1-3定积分的定义、性质和几何意义性质7(定积分中值定理)若函数f?C[a,b],则至少存在一点??[a,b],使得?f(x)dx?f(?)(b?a)。ab证:因为f?C[a,b],所以f?R[a,b],且f在[a,b]上有最大值和最小值,记m?minf(x),M?maxf(x),a?x?ba?x?b则m(b?a)??af(x)dx?M(b?a),b?即m?baf(x)dx(b?a)b?M,故由闭区间上连续函数的介值定理知,至少存在一点??[a,b],使得?f(x)dx?f(?)(b?a)。a303.1-3定积分的定义、性质和几何意义几何解释:在区间[a,b]上至少存在一yf(?)得以区间为[a,b]个点?,使底边,以曲线y?f(x)为曲边的曲边梯形的面积oa?bx等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积。?1b通常称f(x)dx为函数f在区间[a,b]上的积分中值?b?aa或积分均值,它是有限个数的算术平均值概念在积分中的推广,表示函数f在区间[a,b]上的平均取值。313.1-3定积分的定义、性质和几何意义例5.设f(x)在[0,1]上可导,且f(1)?2?xf(x)dx?0,012证明在(0,1)内至少存在一点?,使?f?(?)?f(?)?0。证:对f(1)?2?xf(x)dx?0中的积分运用积分中值定理01得f(1)??1f(?1),?1?[0,]。2令F(x)?xf(x),F?(x)?xf?(x)?f(x),12∵F(x)在[0,1]上可导,∴F(x)在[?1,1]上可导,且F(1)?f(1)??1f(?1)?F(?1),∴由Rolle定理知,至少存在一点??(?1,1)?(0,1),使F?(?)?0成立,即?f?(?)?f(?)?0。323.1-3定积分的定义、性质和几何意义例6设f(x)可导,且limf(x)?1,x???求lim?x???xx?2x?23tsinf(t)dt.t解由积分中值定理知有??[x,x?2],33tsinf(t)dt??sinf(?)(x?2?x),使?xt?x?233limtsinf(t)dt?2lim?sinf(?)?xx???????t??2lim3f(?)?6.????333.1-3定积分的定义、性质和几何意义作业习题一(P146)1(2)(3);2;3;4;5。此课件下载可自行编辑修改,仅供参考!感谢您的支持,我们努力做得更好!谢谢
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