PAGE5.中点的妙用5.1.中点的妙用--构建平行关系【例1】如图,三棱柱中,分别是的中点,证明:平面.F【解析】连接交于点,则为的中点,又为的中点,连接,则.因为所以平面.【评注】借助于三角形或梯形的中位线构建平行关系是中点的重要功能,求解问题时注意灵活应用.【变式】添加中点三角形或梯形的中位线.如图,四棱锥中,,分别为的中点。求证:平面.【解析】取的中点为,连接因为为的中点,所以,又,所以,因此四边形是平行四边形,所以,又DH平面PAD,CE平面PAD,平面;5.2中点的妙用--构建垂直关系【例2】四棱锥的底面是矩形,,为等边三角形,侧面,求侧棱与底面所成的角.E【解析】取中点,连,因为为等边三角形,故,又面,且面,,故,所以为直线与底面所成的角.中,,故.中,,,故.在中,,故,所以侧棱与底面所成的角为.【评注】借助于等腰三角形的“三线合一”的特性构建垂直关系也是中点的重要功能.【变式】添加中点构建垂直关系.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等,,,分别为棱,,的中点.(=1\*ROMANI)证明:平面;(=2\*ROMANII)证明:平面平面.【解析】(=1\*ROMANI)证明:如图,在三棱柱中,,且,连接,在中,因为,分别为,的中点,所以,且,又因为为的中点,可得,且,即四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(=2\*ROMANII)由于底面是正三角形,为的中点,故.又由于侧棱底面,平面,所以,又,因此平面,而平面,所以平面平面.
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