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高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2 抛物线的弦中点及弦长问题例析素材北师大版选修2-1（通用）

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高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2 抛物线的弦中点及弦长问题例析素材北师大版选修2-1（通用）PAGE抛物线的弦中点及弦长问题例析直线与抛物线相交于两点A(x，y)，B(x，y)，对于弦中点问题常用“设而不求”的方法，即：设抛物线方程为y=2px，则=2px，=2px，两式相减有(y－y)(y＋y)=2p(x－x)，=．设AB中点为(x，y)，则有=，即转化为中点斜率问题，也可以将直线方程与抛物线方程联立，转化为二次方程问题，结合根与系数之间的关系将问题解决．对于弦长问题可用定义或弦长公式|AB|=|x－x|．下面介绍两例．xyPOFQMR例1抛物线y=8x上有一点P(2，4)，以P为一个顶点，作抛物...

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.2 抛物线的弦中点及弦长问题例析素材北师大版选修2-1（通用）

PAGE抛物线的弦中点及弦长问题例析直线与抛物线相交于两点A(x，y)，B(x，y)，对于弦中点问题常用“设而不求”的方法，即：设抛物线方程为y=2px，则=2px，=2px，两式相减有(y－y)(y＋y)=2p(x－x)，=．设AB中点为(x，y)，则有=，即转化为中点斜率问题，也可以将直线方程与抛物线方程联立，转化为二次方程问题，结合根与系数之间的关系将问题解决．对于弦长问题可用定义或弦长公式 |AB|=|x－x|．下面介绍两例．xyPOFQMR例1抛物线y=8x上有一点P(2，4)，以P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心是抛物线的焦点，求QR所在直线的方程．解：由题意，知抛物线y=8x的焦点F(2，0)．∵F为△PQR的重心，P(2，4)，∴QR中点M(2，－2)，如图，设Q(x，y)，R(x，y)，则有－=8(x－x)，又y＋y=－4，∴==－2，故所求弦QR所在直线方程为y＋2=－2(x－2)，即2x＋y－2=0．评析：由P点坐标及重心(F)的坐标可求出QR的中点M(2，－2)，将该问题转化为已知弦中点，求弦所在直线的方程．要注意设而不求的解题技巧与转化、化归思想在解题中的应用．例2已知抛物线y=2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB中点的轨迹方程．解：设弦AB的中点M(x，y)，并设A(x，y)，B(x，y)．∵A、B在抛物线上，∴=2x，=2x，又y＋y=2y，∴y(y－y)=x－x．又∵x≠x，∴=．①∵=，∴=．②把①代入②，整理得y－y=x－2，即(y－)=x－．若x=x，此时AB的中点为(2，0)，也在抛物线(y－)=x－上，∴所求轨迹方程为(y－)=x－．评析：解题过程中要注意“设而不求”，两式相减出现中点斜率这一解题技巧的应用及分类讨论的重要思想，即分斜率存在和不存在两种情况求解．

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