节水洗衣机模型问题的提出假设和定义建立模型
分析
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和求解仿真结论和讨论1问题的提出我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。2假设和定义2.1基本假设仅考虑离散的加水
方案
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，即每次脱水完后全换成清水进行下一次漂洗。每次洗漂加水量不能低于，否则洗衣机无法转动；加水量不能高于，否则会溢出。设每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中从而使每次所加的水充分利用脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于0的常数，并由于脱水时不另加水故2.2变量定义设共进行n轮“洗漂脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，…，第轮第轮用水量为衣服上的初始脏物为，在第轮脱水之后的脏物量为3建立模型3.1溶解特性和动态方程在第轮洗漂之后和脱水之前，第轮脱水之后脏物量已变成了两部分：其中
表
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示已溶入水中的脏物量，表示尚未溶入中的脏物量。与第轮的加水量有关，总的规律应是，越大越大，且当时，最小（＝0，因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动），当时最大（这里假设＝，其中称为‘溶解率’）因此简单地选择线性关系表示这种溶解特性则有：（3.1.1）（3.1.2）在第轮脱水之后，衣服上尚有脏物。有脏水，其中脏水中含有脏物量为，于是第轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为：将（3.1.2）代入上式整理后得系统动态方程：（3.1.3）（3.1.4）3.2优化模型由于是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而是初始脏物量，故反映了洗净效果。由系统动态方程（3.1.4）可得：又总用水量为：于是可得优化模型如下：（3.2.1）（3.2.3）（3.2.2）若令：则优化模型变成为更简洁的形式：4分析与求解4.1最少洗衣轮数定义函数（4.1.1）易知（4.1.2）可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以（4.1.3）第k轮的洗衣效果为（4.1.4）由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到（4.1.5）给定洗净效果的要求则应有（4.1.6）于是（4.1.7）若考虑的值不大于0.99。而代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级是很小的，所以（4.1.8）比如小于万分之一，则有**式。这样最少洗衣轮数的估计值为：(4.1.9)设满足（4.1.9）的最小整数，表-4.1.1给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一时的关系。 4.2算法选用一种非线性规划算法，对于（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取）分别求解，然后选出最好的结果。其中是满足（4.1.7）或（4.1.9）的最小整数，注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。5仿真5.1数据这里基于常识给出了一组用于仿真的数据，实际数据应通过实验获取（见6.2）。1）洗衣效果要求为千分之一，即。2）每轮用水量下限为上限的百分之二十五，即。3）脱水后衣服上的脏水量为用水量上限的十万分之一，即。由2），3）易得5.2结果表5.2.1是溶解率时不同洗衣轮数n下的最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最有用水量恰好相等）。5.2.2是不同溶解率之下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）。备注1无解21.95630.978232.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386表5.2.1：表－5.2.2备注0.9921.95630.97820.9532.84210.94740.9043.65400.9135由计算误差引起0.8543.86900.96730.8054.68010.93600.7065.86100.97680.6087.71080.96380.50109.97640.99766结论和讨论6.1若干结论基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结论：1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少用水（除非考虑“洗涤”与“漂洗”的不同，见以下6.2）。3）设法增加溶解率可以成倍地节约用水。如适当延长洗漂时间，选用好的洗涤剂等。6.2讨论1） 乘积约束可化为：（6.2.1）在计算中要注意采取适当措施防止溢出，如可用代替，其中是机器的最小正浮点数。2)可考虑“洗涤”和漂洗的不同（两者统称“洗漂”），前者加洗涤剂。一般仅第0轮是洗涤。可用特殊的溶解特性（关系）加以区别，例如考虑到多加水会降低洗涤剂的浓度，其溶解特性用具有最大值的单峰函数表示应当更合理。3）在实际中，无论是参数以及洗净效果要求，还是溶解特性，均应在各种不同条件（比如针对衣服量的“少”，“中”，“多”）通过试验确定。4）受仿真结果的启示，提出猜想：“最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数且每轮洗漂的最优用水量相等”，即有若真如此，则易知每轮的最优用水量就是下列二次方程的解：（6.2.2）是满足（4.1.7）或（4.1.9）的最小整数，这样问题大为化简。尚未找到一种简明的方法来证明（或否定）此猜测。附注：这是1996年全国大学生数模竞赛B题的参考答案，从假设、建模、到结果分析都给参赛者留下较大的创新余地！
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