热点问题3不等式含多元变量教师版

热点问题3不等式含多元变量教师版热点问题3基本不等式（含多元变量）、填空题1.已知f（x）10g2（x2）,若实数m,n满足f(m)f(2n)3,则mn的最小值为【解析】由f(m)f(2n)3可得10g2(m2)10g2(2n2)3,则(m2)(n1)4,其中(m2,n由基本不等式J(m2)(n1)wm2n1,即2mn>7,当且仅当m4,n3时，取所以mn的最小值为7.2.设实数x,y满足x22xy10,则X2y2的最小值是【解析】因为X22xy10,则1x2x所以x2x21(14x2、25xx)T14x2.51当且仅当..5上5时，取“二”5-...

热点问题 3基本不等式（含多元变量）、填空题1.已知f（x）10g2（x2）,若实数m,n满足f(m)f(2n)3,则mn的最小值为【解析】由f(m)f(2n)3可得10g2(m2)10g2(2n2)3,则(m2)(n1)4,其中(m2,n由基本不等式J(m2)(n1)wm2n1,即2mn>7,当且仅当m4,n3时，取所以mn的最小值为7.2.设实数x,y满足x22xy10,则X2y2的最小值是【解析】因为X22xy10,则1x2x所以x2x21(14x2、25xx)T14x2.51当且仅当..5上5时，取“二”5--2所以x9y的最小值为..5123.已知x,y为正实数且满足xyw1,则一…一一，1【斛析】因为（——4xx1y1)(xy1)=——y14x1y1Xy1的最小值为”,一X1一4以所1yX4TOC\o"1-5"\h\z当且仅当x2,y1时，取“=”.33117所以-的取小值为一.xy184.若不等式x22xy—2x。12(2)2xyx(-)2x2t1t2(t0),令2t2t1则Ut21u(i21,512当且仅当、51t时，取“=”2所以2X-2X驾的最大值为亘」，即a>y2225.设mR,过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y),则PAPB最大值是由题意:A(0,0),B(1,3),又两直线互相垂直，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆,则PA2PB210,所以PAPBw—22PA2PB25,当且仅当PAPBj5时，取“=”所以PAPB的最大值是5.6.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值V美元与其重量④克拉的平方成正比,若把一颗钻石切割成重量分别为m,n(m>n)的两颗钻石，且价值损失的百分率为原有价值-现有价值原有价值x100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为【解析】因为V与3的平方成正比，所以设V=k32,则原有价值V0=k(m+n)2,现有价值V=V〔+V2=km2+kn2,所以价值损失的百分率=Vo-Vkm+n2—km2—kn2V0X100%,km+n2—km2—kn2km+n2舞=2,当且仅当m=n时取等故价值损失的百分率的最大值为50%.7.已知x0,y0,且满足xy一则4yx4y的最小值为【解析】由xy-x—y-可得x4y4yxyxy所以（x4y)2(x14y)(一x4yx->9,y当且仅当x1,y一时，取2所以x4y的最小值为3.8.已知a,b,c为正实数且满足的最小值为12-c人b令一c则9ctit2t10,12t1172t1)12t1当且仅当取“二”所以bc二、解答题9.已知x0,y已知x变式2.已知x法2:一的最小值为b0且满足xy8,的最小值.0,y0且满足xy0,y>3且满足xy法1：因为由x0,y所以xy当且仅当x由xyy8,求xy的取值范围.求xy的最小值.0可得0x8,8xxx1x12时，等号成立.y8可得xy89—2>4,1(xyy)2.解得x又由x0,y0可得xy>4.变式1.因为xyxy8,则由x0,y0可得x0,所以x92[(x1)]2<-8,(x1)当且仅当变式2.因为xy4时，等号成立.y8,则y80,y>3可得0x<所以一.一52在x0,5上单调递减,4所以17y>—•410.已知函数f(x)cos2x2,是否存在正整数x、m,使得f(x)mf(-)f(0)对任意的2x0,—恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.2【解析】由f(x)mf(,f(0)可得2cos2xm(cosx2)1,2.1cos2x22cosx即m对任意的x0,—恒成立，TOC\o"1-5"\h\z2cosx2cosx2令2cosxt1,2,22则22c0sx22(2D8(2t-)<8473,2cosxtt当且仅tJ3时，等号成立，2所以228sx的最小值为84/3,2cosx所以m84.3,所以存在正整数m1,使得f(x)mf(-)f(0)对任意的x0,一恒成立.2211.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上l的车距dm与车速vkm/h和车长lm的关系满足dkv2l-(k为正的常数).2假定车身长为4m,当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长.(1)写出车距dm关于车速vkm/h的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多?【解析】(1)由题意，当v=60时，d=2.661,所以所以12.66l-2l2.16k=602l=乔=0.0006,d=0.0024v2+2.(2)设每小时通过的车辆数为Q,则Q=1000v,d+41000V10000.0024v2+66'0.0024v+v因为0.0024v+6>2y0.0024v>2时，anSnSm2an2(2an12),即里■an12,所以数列{an}为以2为首项,2为公比的等比数列所以anbnbn1nn1n(2)由bnlog2an得bnn,则c1111Tn=1--+---+…+—223nn1n1因为nwk(n+4),即k>n1n1(n1)(n4)n4n4所以n—5>9,当且仅当n=2时，取=.nnn1一，5一..1因此k>1,故实数k的取值范围为919,

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