CKBOODwasrevisedintheearlymorningofDecember17,2020.数列通项特征根法的
证明
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数列{a(n)}，设递推公式为a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为x^2-px-q=0.若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n(c、d可由初始条件确定，下同)若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n以上部分内容的证明过程：设r、s使a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]所以a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s就是一元二次方程x^2-px-q=0的两根，也就是刚才说的特征根。然后进一步证明那个通项公式：如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)}是以a(2)-r*a(1)为首项、r为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n)=[a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，两边同时除以r^(n+1)，得到a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n=a(2)/r^2-a(1)/r等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n}是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n=a(1)/r+(n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]整理一下，并设a(2)/r^2-a(1)/r=d，再设2a(1)/r-a(2)/r^2=c，然后把那个r用A来代，就可以得到a(n)=(c+nd)*A^n了。至于那个方程有两个不等的实根的情况，证明起来原理基本一致，就是略微繁琐一点，这里就不多说了，lz自己试试，当成数列练习把~~如果r不等于s，那么可得，a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]……（1）a(n+2)-s*a(n+1)=r[a(n+1)-s*a(n)]……（2）公式，[a(n+2)-r*a(n+1)]/[a(n+1)-r*a(n)]=s,换元得b(n+1)/b(n)=s等比数列，则有b(n)＝a(n+1)-r*a(n)=[a(2)-r*a(1)]s^(n-1)……（3）公式，[a(n+2)-s*a(n+1)]/[a(n+1)-s*a(n)]＝r等比数列,则有a(n+1)-s*a(n)=[a(2)-s*a(1)]r^(n-1)……（4）(3)-(4)可得，(s-r)a(n)=[a(2)-r*a(1)]s^(n-1)-[a(2)-s*a(1)]r^(n-1)a(n)=([a(2)-r*a(1)]/[s(s-r)])*s^n-([a(2)-s*a(1)]/[r(s-r)])*/[s(s-r)]*r^na(n)=a*s^n+b*r^n若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n(c、d可由初始条件确定，下同)若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n
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