导数应用问题的分类解析导数是
分析
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函数、解决函数问题的有力工具，应用很广泛,一、应用导数的定义求函数的极限2x例1已知函数f(x)在x=1处的导数为1,求|jmf(1x)-f(1)的值.x屮解:由导数定义得仁iimf(j"f(1)f(1x^f(1)=..…hmkm?2x1f(1x)-f(1)1点评：运用导数定义的等价形式f'(X。)=f(X。x)一f(X。)来求解.二、应用导数证明不等式例2已知x>0,证明：In(1+x)
0知f'(x)<0,X+1X+1•••f(x)在(0,+乂)上是减少的，又f(0)=0,Af(x)<0(x>0)即In(1+x)0点评：应用导数可以解决一些用初等
方法
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不能证明的不等式，其关键构造辅助函数，用导数确定其单调性，求出函数值域.三、应用导数求函数的单调区间、值域及最值.2例3.已知函数f(x)二空7,x・[0,1],求f(X)的单调区间和值域.2—X2解：f'(x^^^淫二Z「(2x-1)(2x2-7)，令f'(，解得X」或x=7(2—x)2(2—x)222列表如下:’1、11X0(0,『2(%)1f'(x)—0+f(X)72r、-4-3•••当X.(0,1)时，f(x)是减函数；当X.(丄,1)时，f(x)是增函数；'^2//当X[01]时，f(x)的值域为[-4,-3].点评：应用导数研究函数的单调区间、最值、值域，不限于所给函数的复杂与简单，操作性强.四、应用导数的几何意义，求曲线上的点到直线的最小距离.例4.已知P是抛物线y2=4x上的动点，求点P到直线xy0的最小距离.解：画图知将已知直线平移与抛物线的第一个交点就是点P，点P也是切点，且在抛物线的下支曲线y=-2、x上。设坐标为(x,y),则曲线在点P处的切线斜率等于直线xy3=0的斜率。由y=2x，得y>—1.令y—1，解得Vxx=1,y=-2，所以点P坐标是(1，-2)，点P到直线x+y+3=0的距离最小，最小距离d二上冬也=".<2点评：函数f(x)在x=X0处的导数f(X0)就是曲线f(x)在点P(X0,y。)处切线的斜率.五、应用导数的意义求运动物体的速度及加速度例5.物体作直线运动，其运动规律是s=2t-t3，求物体的初速度及第3秒末的加速度.解：TV二S'2-3t2，•物体的初速度V°=2由V(t)=2—3t2得V'(t)二―6t•所求的加速度a=V(3)—18(ms2)点评：导数就是因变量对自变量的变化率取自变量增量趋于零时的极限值，与变化率有关的量杜克由导数求解，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数，电流强度是电量对时间的导数。六、应用导数解决最值应用题例6.把长为90cm宽为48cm的矩形铁皮四角切去相等的正方形，折成一个无盖的长方形的盒子，问盒子的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x,容器的体积为V.贝卩V=(90—2x)(48—2x)x=4x?_276x24320x(0：：：x：：：24)V'=12x2-552x4320，令v'=0得，x,=10,x2=36(舍去)•/0：x：：：10时，V'>0,10：：：x：：：36时，V'V0.•.当x=10时，V有极大值V(10)=1960.又V(0)=0,V(24)=0..•.当x=10时，V有最大值V(10)=1960(cm3)点评：用导数解决一些函数应用题简单快捷，可避免一些复杂的运算.应用导数确定函数零点的唯一性例7.设函数fn(x)二xnx-1(nN)，证明:fn(x)在区间(丄,1)内存在唯一零点。2解：fn(-)fn(1)=(4?--)仁0,fn(x)在(丄,1)内存在零点•又当2222(；,1)时，fn(x)二nxn「10^fn(x)在(1,1)上是单调递增的，•fn(x)在(1,1)内存在唯一零点.点评：利用零点存在性定理判断出零点存在，然后由导数确定函数单调，可证零点是唯一的。
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