总第课时课题《分步积分》课型新授课授课日期第周授课时数2课时教学目标认知目标：使学生熟练掌握分部积分法求不定积分。能力目标：教学重占八、、与难点重点：分部积分法求不定积分难点：u、dv选择学情分析板分步积分法：Judyu—Mu例题：书设计教后记教学程序与
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教师活动学生活动弓1：换元法能解决大量的不定积分的计算问题，但是像Jlnxdx、Jxedx、Jesinxdx等不定积分，显然用直接积分法和换元积分法都难以解决这类问题，下面介绍求不定积分的另一个基本方法一一分部积分法。定理(分部积分法)设u=u(x)、v=v(x)都是连续可微函数，则有分部积分
公式
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：Ju(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-Jv(x)u'(x)dx简写成：Judv=uv-Jvdu说明：⑴分部积分公式右端有两项，其中一项u(x)v(x)已被子“积出来”，因为这个缘故，此积分法称作分部积分法。⑵分部积分法经常用于求两个函数乘积的不定积分。例1求Jxcosxdx解：设u=xdv=cosxdx贝ydu=dxv=sinx代入分部积分公式，有：Jxcosxdx=xsinx—Jsinxdx=xsinx+cosx+c注：本题若设u=cosxdv=dx于是[xcosxdx=丄x2cosx十丄fx2sinxdx22'2fxsinxdx新得到的积分’反而比原积分更难求，因而应用分部积分法求不定积分时，关键在于怡当地选取u和口dv，它有一定规律。下面列出应用分部积分法常见的几种积分形式及U的选取方法：⑴JxnexdxJxnsinaxdxjx"cosaxdx(n为正整数)设u=xn⑵〕xnInxdx」xnarcsinxdx.Jxnarctanxdx(^_i,n为整数)设u=lnx.arcsinx.arctanx例2:求代匕解：设u=xdv=edx贝ydu=dxv=e二Jxexd^=xex-Jexdx=xex-ex+c=ex(x-1)+c例3求阿csinxdxdu=』dx解：设u=arcsinxdv=dx贝yv^xv=x二［arcsinxdx—xarcsinx-jjdx1^-x22fxd(1—X)-xarcsinx-J-1^-x2-2x12-2=xarcsinx+—【(1—x)2d(1—x)2•12-=xarcsinx+—2(1—x)2+c2=xarcsinx+Jl-x2+c例4、求、(x|nxdx解：设u=1nxdv=xdx112du=_dxu=ix则x2[xlnxdx=1x2lnx一|■丄x21dx2J2x121212=_xInx—一xdx=—xInx—一x+c22'24当运算熟练后，分部积分的替换过程可以省略。练习：求下列不定积分1Jlnxdx2Jxarctanxdx3Jxsin2xdx4Jxe」dx例5、求解:Jx2exdx=Jx2dex=x2ex-J2xexdx=x2ex-2Jxdex=x2ex-2xex+2Jexdx=(x2_2x+2)ex+c练习：求Jxlosxdx例6、求®sinxdx解：设u=sinxdv=edxx贝ydu=cosxdxv=e二fexsinxdx=exsinx-Jexcosxdx对右端积分Jecosxdx再次使用分部积分法设u=cosxdv=edx贝qdu=—sinxdxv=ex二Jexcosxdx=excosx-fexsinxdx将该结果代入前一式，得*X・1X・X$X・i[esinxdx=esinx-ecosx-『esinxdx移项，得：x1x1[esinxdx=—e(sinx—cosx)+cc=—g'2这里2对于Jexsinbxdx・Jeaxcosxdx类型，可设u=e*或sinx.cosbx,但里要注意前后两次使用分部积分法，两次设u的函数类型必须是同类。例7：求hdx解:设仮=t则x=tdx=2tdt二JeVxdx=|et2tdt=2(tet-jgdt)=2(tet-e)+c=2g(t-1)+c=2(仮-1)訐+c练习:求下列不定积分①Jsin>/xdx②JarctanVxdx小结:略
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