对数的换底
公式
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及其推论一、复习引入：对数的运算法则有:如果a>0,a1,M>0,N>二、新授内容：对数换底公式:bgaNbgmN(a>0,abgmam>0,ml,N>0)•则ax两边取以m为底的对数:bgmbgmXbgraabgmN,,“bgmN从而得：Xbgma两个常用的推论：bgmbgma®bgabbgbabgabbgbbgca②bg-bnan—bgab(a,b>0且均不为1)•iiE：®bgab]gabgbalgb②bnn^g-%m]ga■nfebm]gabgab三、讲解范例:例1已知bg2bg37=b,表示bg4256解：因为bg23=a,则XVbg37二b,Abg4256血虽bg342bg373bg32ab3bg37bg321abb1例2计算:①51bg0.23®bg43bgg21求证丄丄x2y1z•♦2比较3x,4y,6z的大小・证明1：设沪4y6Zk:・•x,y,z；(o,)・•・k1取对数得：Xfek，ylgkz]gk倉3lg-4lg611]g3]g421g3]g42]g:32lg2lg61x2y]gk2]gk2fek2]gk]gkz64lgklg23x4y(-3-亠■)]gklgk§40te4lg3]g4lg3]g4lgkJg—9-又：4y6z二-)lgklg3664160Jg4lg6lg2]g6lg2]g6解：①原式二555155bg0.231>S5-11533115②原式二_bg23一bg32—bg22+■22444y6Z-5-3.42例3设x,y,z(0,)且3X/•3x4y6z・例4已知bgaX二bgac+b,求X•分析：由于X作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外,由于等式右端为或者将b变为对数形式■解法一：由对数定义可知：Xabg3Cbabgacabc解法二・・・18b二5log185=bX由已知移项可得bgaXbgacb，即bga—b.由对数定义知：来abcbxca<c解法二：四、课堂练习：①已知bg189=a,18b=5,用a,b表示bg3645解：Ilog189二abgis131bgis2a.・.log182二1abg3645bgis45bgis36bg189bg185a2ba1log182②若bg83=p,bg35二q,求E5解：・.・bg83=pbg233=pbg233p1bg323P•I]g5bg35bg353pq又・bg35qbg310bg32log3513pq三、小结本节课学习了以下内容:换底公式及其推论四.课后作业:1・证明：bgaXbgabX1bgab证法1：设bgaXp,bgabXq,logabr则：xapxfeb)aaqbqbar••ap(ab)qaq(ir)从而pq(ir)pbgaX•・・q0・•・—1r即：1bgab（获证）QbgabXbgX证法2：由换底公式左边=bgxabbgaab1bgab=右边bgabXbgxa2.已bgaibibga2b2bganbn求证：bgaia2an(bb12bn)证明：由换底公式]gb2]gbn由等比定理得:]gailga2]gan]gbi]gb2]gaiJg(bib2Jg(aia2bn)&n)・・・bgaiaz(bb12t(bib2bnbn)]g(ai&2an)
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