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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第31届)

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第31届)国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第31届）1.弦AB，CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC，AC于F，G．设t=AM/AB，试用t表示EF/EG．2.设n≥3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E．现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”．试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值．3.试找出所有大于1的正整数n满足(2n1)/n2也是整数．4.试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使f(xf(y))=f(x)/y对任何x，y都成立．5.给定一个初始整数n0>1，两个玩家A，B根据下述规则交替的选择整数n1，n2，n3，...：a.设B已选择n2k，则A选择n2k1满足n2k≤n2k1≤n2k2；b.设A已选择n2k1，则B选择n2k2满足n2k1/n2k2=pr对某个p及r≥1成立．若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜．分别求除满足下述条件之一的n0：(1)A有必胜策略；(2)B有必胜策略；(3)A，B都没有必胜策略．6.求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12，22，...，19902（顺序不定）．

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