专题十二不等式第44讲基本不等式及其应用a＋b1．基本不等式ab≤2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)．ba(2)a＋b≥2(a，b同号)．?a＋b???2(3)ab≤???2?2222(a，b∈R)．?a＋b?a＋b??2(4)≥?(a，b∈R)．?2?2?以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平2均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xyp有最大值(简记：和定积最大)．421．利用基本不等式求最值【例1】??11yx－3(1)已知x，y∈(0，＋∞)，2＝?2?，若＋x??m(m>0)的最小值为3，则m等于()yA．2B．22C．3D．4(2)若a＞0，b＞0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()1111A.ab≤B.a＋b≤14C.ab≥2D．a＋b≥822解析：(1)由?1?yx－32＝?2?，得??x＋y＝3，?1m?1?ymx?11m1?＋?＝?1＋m＋＋?≥(1＋m＋＋＝(x＋y)xy?3y?3?xy3?x2??ymxm)?当且仅当x＝y时取等号?，??1则(1＋m＋2m)＝3，解得m＝4.故选D.3(2)因为a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以a＋b＝(a＋b)－2ab＝16－2ab，根据基本不等式有4＝a＋b≥22222ab，2所以ab≤4，－2ab≥－8，所以16－2ab≥8，即a＋b≥8.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：(1)D(2)D2．基本不等式与学科知识的综合【例2】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足1a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则m＋4的最小值为()n35925A.B.C.D.2346x＋ax＋11(2)已知
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数f(x)＝(a∈R)，若对于任意xx＋1∈N，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围________．解析：(1)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q＝a1q＋2a1q，∴q－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．∵amanm＋n－2＝4a1，∴q＝16，2654*2?1?4141m＋n－24?＋?＝∴2＝2，∴m＋n＝6.∴m＋n＝(m＋n)·6?mn?n4m?1?1???5＋＋?≥?5＋26?mn?6?n4mn4m??3·?＝2.当且仅当m＝n时，mn?143等号成立，故m＋n的最小值为.2x＋ax＋11*(2)对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3x＋1恒成立，即知?8?a≥－?x＋x?＋3.??2817*设g(x)＝x＋x，x∈N，则g(2)＝6，g(3)＝.3?8?178∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－?x＋x?＋3≤－.33???8?8∴a≥－，即a的取值范围是?－3，＋∞?.3??答案：(1)A?8?(2)?－3，＋∞???剖析：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．3．不等式的实际应用【例3】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足8012千件时，C(x)＝x＋10x(万元)．当年产量不小于80千件310000时，C(x)＝51x＋x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)当0
lgx(x>0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)k∈Z)11解析：当x>0时，x＋≥2·x·＝x，422?21?∴lg?x＋4?≥lg??x(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x≠kα，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有答案：C1x2＋1＝1D不正确．，故选项122．已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则x＋y的最小值是()A．6B．8C．9D．16解析：因为x＞0，y＞0，x＋2y＝1，所以12??12?x＋y＝?x＋y??(x＋2y)＝5＋22y2x·xy＝9.答案：C2yx＋2xy≥5＋3．已知函数f(x)＝x|x－4|(x∈R)，若存在正实数k，使得方程f(x)＝k在区间(2，＋∞)上有两个根a，b，其中a＜b，则ab－2(a＋b)的取值范围是()A．(2，2＋22)B．(－4，0)C．(－2，2)D．(－4，2)?a＋b?a＋b??解析：依题意，＝4，且ab＞12，又ab＜??22??2(因a，b不等所以不取等号)，所以12＜ab＜16，所以－4＜ab－2(a＋b)＜0，故选B.答案：B4．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3＋3的最小值是()A．10B．63C．46D．183解析：因为x，y∈R，且x＋y＝5，所以，3＋3≥23×3＝23答案：Dxyx＋yxyxy＝23＝183，故选D.55．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．0解析：由x＋2y－xy＝0，得21x＋y＝1，且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×??21?4yx?x＋y??＝x＋y＋4≥4＋4＝8.答案：A16．若a＞b＞0，则代数式a＋的最小值为2b（a－b）()A．2B．3C．4D．5解析：因为b(a－b)≤??b＋（a－b）???2a2?2??＝4，所以12124b（a－b）≥a＋a2＝a＋a2≥44a2＋当且仅当b＝a－b，成立．答案：Ca2＝4a2，即a＝2，b＝22时等号47．已知x＜0，则函数y＝x＋x的最大值是()A．22B．4C．－22D．－4??4??4解析：y＝x＋x＝－?（－x）＋?－x??，?????4?4因为x＜0，所以－x＞0，－x＞0，所以(－x)＋?－x?≥??4，所以??4??y＝－?（－x）＋?－x??≤－4，?当且仅当x＝－4.答案：D???2时，等号成立，所以函数的最大值为－8．设x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是()3A.B．1＋32C．23－2D．2－3?x＋y???解析：因为x＞0，y＞0，所以xy＝2－(x＋y)≤??2??2，解不等式可得x＋y的最小值是23－2.答案：C9．已知x＜0，则函数y＝________．x＋x＋1x2的最大值是x＋x＋1解析：根据题意，由于x＜0，则函数y＝＝x?1?1x＋x＋1＝－?－x－x?＋1≤－2???1?（－x）×?x?＋1＝－??21，当x＝－1时取得等号，故可知函数的最大值为－1.答案：－11110．已知a，b为正实数，且a＋2b＝1，则a＋b的最小值为________．11解析：根据题意，由于a＋2b＝1，那么可知a＋b＝?11?2ba(a＋2b)?a＋b?＝3＋a＋b≥3＋2??2ba×＝3＋22，当ab2ba且当a＝b时等号成立，故可知结论为3＋22.答案：3＋2211．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求11x＋y的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当5y时，等号成立．2x＝??2x＋5y＝20，??x＝5，因此有?解得?此时xy有最大值???2x＝5y，?y＝2，10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴11＝??11?2x＋5yx＋y?x＋y??·20＝1??7＋5y2x?1?5y2x??7＋21020?x＋y??≥?20??7＋2x·y??＝20，当且仅当5y2xx＝y时，等号成立．?1010－20??由?2x＋5y＝20，??x＝?5y2x解得?3?x＝y，??20－410?y＝3.∴117＋210x＋y的最小值为20.，
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