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同济大学信号与系统第三章第1讲_傅立叶变换

同济大学信号与系统第三章第1讲_傅立叶变换傅立叶分析主要是从频率的角度来分析信号和系统，时域分析和频域分析相辅相成。对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，傅立叶分析方法是一个强有力而严谨的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。第三章傅立叶变换周期信号可以表示成傅立叶级数：它以三角函数集或复指数函数集为基函数集。周期函数展开为傅立叶级数——狄里赫利条件：周期函数f(t)满足如下充分条件：1、在一周期内，信号有有限个极值点。2、如果有间断点，间断点的数目是有限个。3、在一周期内，信号是绝对可积的。即：我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。§3.2周期...

傅立叶分析主要是从频率的角度来分析信号和系统，时域分析和频域分析相辅相成。对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，傅立叶分析方法是一个强有力而严谨的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。第三章傅立叶变换周期信号可以表示成傅立叶级数：它以三角函数集或复指数函数集为基函数集。周期函数展开为傅立叶级数——狄里赫利条件：周期函数f(t)满足如下充分条件：1、在一周期内，信号有有限个极值点。2、如果有间断点，间断点的数目是有限个。3、在一周期内，信号是绝对可积的。即：我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。§3.2周期信号的傅立叶级数分析（频谱）任何一个满足狄利克雷条件的周期为T的函数f(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即:（一）三角形式的傅立叶级数上式称为f(t)的三角形式的傅立叶级数展开，其中：1称为基波角频率，n1称为n次谐波角频率,若把同频率项加以合并，即或或则可得到另两种表示形式：cn代表n次谐波振幅；n,n代表n次谐波的初相位以上两种表示的关系为在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形式来表示任意信号f(t)。例：1tTf(t)0将信号f(t)展开为三角形式的傅立叶级数解：首先根据公式计算系数1tTf(t)01tTf(t)0所以(二)指数傅立叶级数因为复指数函数集在区间(t0，t0+T)内也是一个完备正交函数集，其中对于任意周期为T的信号f(t),可在区间(t0,t0+T)内表示为此函数集中各函数的线性组合，即定义：式中指数傅立叶级数的系数Fn可由下式求得Fn亦称为谱系数,一般为复数(二)指数傅立叶级数由欧拉公式：又因为(二)指数傅立叶级数指数傅立叶级数与三角傅立叶级数的关系：(二)指数傅立叶级数经推导(二)指数傅立叶级数1、当f(t)为偶函数所以：(三)对称性与傅立叶级数的关系2、当f(t)为奇函数(三)函数波形的对称性与傅立叶级数的关系3、当f(t)为奇谐函数波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形不发生变化，即满足：这样的函数称为半波对称函数或奇谐函数，这样的函数只有奇次谐波，即an、bn中n取奇数时，才有谐波分量。(三)函数波形的对称性与傅立叶级数的关系傅立叶有限级数与最小均方差任意周期函数表示为傅立叶级数需要无限多项才能完全逼近原函数，当选用有限项时，项数越多，越逼近原函数。取傅立叶级数的前2N+1项用前2N+1项逼近引起的误差为：方均误差为：当N趋近于无穷大，SN趋近f(t)当f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部，所以波形变化越激烈，高频分量越丰富信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化，则波形失真。吉布斯现象当选取傅立叶有限项级数的项数越多，在所合成的波形SN中出现的峰起越靠近f（t）的不连续点，当所取N很大时，该峰起趋近于一个常数，大约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象称为吉布斯现象（Gibbs）。其中：Cn代表n次谐波的振幅，称振幅频谱。n代表n次谐波的初相位，称相位频谱。为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号的各次谐波的分布图，这种图形称为信号的频谱。它是信号频域表示的一种方法。§3.3典型周期信号的频谱振幅频谱：描述各次谐波振幅与频率的关系图相位频谱：描述各次谐波相位与频率的关系图（一）周期矩形脉冲信号Ef(t)Tt要研究f(t)的频谱，首先要求 f(t)的傅立叶级数的系数。１、三角形式的傅立叶级数——单边频谱f(t)是偶函数，所以三角形式的傅立叶级数为：此时，将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标出，即信号的频谱图。CnnCn也可以将频谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只有Cn为实数时才可能。2、指数形式的傅立叶级数——双边频谱cn单边频谱与双边频谱比较：单边：每一谱线代表某一分量的幅度双边：谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减小一半，（每一频率谱线正负各一半）cnAn3、周期矩形脉冲的频谱特点离散性：周期矩形脉冲的频谱是离散的线状频谱cn谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率1（等于2/T）的整数倍。谱线间隔1与T成反比。收敛性：谱线幅度随n而衰减到零。包络线：各谱线的幅度包络线按抽样函数Sa(n1/2)的规律变化。cn占有频带宽度：周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主要集中在第一零点以内。把=0~2/这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作或上式说明：信号的占有频带宽度B与时宽成反比cn例：若余弦信号为Ecos1t，其中1=2/T，则全波余弦信号f(t)为求f(t)的傅立叶级数解：如图，f(t)为偶函数，则f(t)的周期为：基频：（二）周期全波余弦信号（二）周期全波余弦信号由此可得f(t)的傅立叶级数：（二）周期全波余弦信号小结信号在时域中的波形直接决定了信号频谱的包络线形状。信号的周期决定了其线状谱线的间隔大小。信号的时域波形越“光滑”，其高频谐波幅度越小；反之，信号的时域波形越是跳变，所含高频谐波幅度越大。

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