PAGE2020年度高二上学期开学考试数学
试题
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（文）说明：满分：150分时间：120分钟一、选择题：（每小题5分，满分60分）1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )A．{x|x＞－2}B．{x|x＜－4}C．{x|－4＜x＜－2}D．{x|－4≤x≤－2}2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )A．20B．30C．40D．503.过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．4.下列不等式中成立的是( )A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a>b，c>d，则a-c>b-dD.若a
5.已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A．B．C．D．6.若是正数，且，则有（ ）A．最大值 B．最小值C．最小值 D．最大值7．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为()．A．4B．5C.D.eq\f(1,5)8.若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤6，,x－3y≤－2，,x≥1，))则z＝2x＋3y的最小值为( )A．17B．14C．5D．39.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )A．12eq\r(3) B．27eq\r(3)C．36eq\r(3) D．610.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围（）A．B．C．D．11．等边的边长为1,设,则（）A．B．C．D．12.过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的
表
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面积的比值为A.eq\f(3,16)B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(9,32)二、填空题：（每小题5分，满分20分）13.若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是.14.正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，则a7＝________．15.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.16.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编号）三、解答题：（共6道题，17题10分，其余均12分）17.（10分）若不等式x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）已知平面上三个向量，其中，（1）若，且∥，求的坐标；（2）若，且，求与夹角的余弦值.19.（12分）数列{an}满足a1＝1，eq\f(1,2an＋1)＝eq\f(1,2an)＋1(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项
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．20．（12分）圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.(1)当α=时,求AB的长；(2)当AB的长最短时,求直线AB的方程.21.（12分）如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点.（1）求证:AD⊥平面BCC1B1；（2）求证:A1C//平面AB1D.22.（12分）设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.2020年度高二上学期开学考试数学试题（文）答案一、CCADACBCCCBA二、13.-614.eq\r(19)15.16.②③④三、17.（10分）解：若x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k2－1)≤0⇒k2≥2⇒k≥eq\r(2)或k≤－eq\r(2).即实数k的取值范围是(－∞，－eq\r(2)]∪[eq\r(2)，＋∞)．18.（12分）解：（1）设，由条件有，解得：，或，所以：，或。（2）设的夹角为，由，知，即：，所以：，19.（12分）解：(1)证明：由eq\f(1,2an＋1)＝eq\f(1,2an)＋1，可得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知eq\f(1,an)＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1).20.（12分）解:(1)当α=时,直线AB的斜率为k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.弦心距d=,半径r=2,弦长|AB|=2.(2)当AB的长最短时,OP0⊥AB,因为kOP0=-2,kAB=,直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.21.（12分）证明：（1）因为△ABC是正三角形,而点D是BC的中点，所以AD⊥BC.又因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AD平面ABC，所以CC1⊥AD，因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1；（2）连接A1B,设AB1∩A1B=E,则E为A1B的中点,连接DE,由D是BC的中点,得DE∥A1C.因为DE平面AB1D,且A1C平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.22.（12分）解 (1)由已知，得当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝eq\f(1,9)[(3n－1)22n＋1＋2]．
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