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解析]高等数学(工本)自考题模拟7PAGE1/NUMPAGES1[自学考试密押题库与答案解析]高等数学(工本)自考题模拟7高等数学(工本)自考题模拟7一、单项选择题问题:1.若a=2i-3j+5k，b=3i+j-2k，则a·b=A.7B.-7C.{1，19，11}D.{1，-19，11}答案:Ba·b=2×3+(-3)×1+5×(-2)=-7问题:2.函数在(0，0)点A.连续B.不连续C.可微D.偏导数存在答案:A问题:3.设L是圆周X2+y2=a2顺时针方向的周界，则=A.2πa2B.-2πa2C.-πa2D.πa2答案:A问题:4.设区域D由圆x2+y2=2ax(a＞0)围成，则二重积分=答案:D积分区域如图所示在坐标下令x=rcosθ，y=rsinθ则问题:5.设常数k＞0，则级数A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与k有关答案:B∴由莱布尼茨判别法知级数收敛，又发散，故原级数为条件收敛二、填空题问题:1.Oxy面上的椭圆绕x轴旋转所形成的旋转面的方程是______．答案:问题:2.函数的定义域是______．答案:{(x，y)|0＜x2+y2≤4}要使函数有意义，则问题:3.设z=uv+sinω，u=et，v=cost，ω=t，则=______．答案:et(coxt-sint)+cost=v·et+u(-sint)+cosω·1=cost·et(-sint)+cost问题:4.设积分区域V是：1≤x≤2，3≤y≤4，5≤z≤6，则=______．答案:1问题:5.用待定系数法求方程y"-4y'+4y=(2x+1)e2x的特解时，应设特解=______．答案:x2(ax+b)e2x它对应的齐次方程的特征方程为λ2-4λ+4=0∴r1=r2=2，λ=2为对应齐次办程的二重特征根．故应设非齐次方程的一个特解为三、计算题问题:1.求过点(0，2，4)且与平面x+2z=1及y-2z=2都平行的直线方程．答案:设所求直线的方向向量n={a，b，c}则a+2c=0，b-2c=0，∴a=-2c=-b故取n={-2，2，1}则所求直线方程为问题:2.设z=arcsin(xy)，x=set，y=t2，则．答案:问题:3.求曲面xez-xyz-2=0在点(1，0，ln2)处的切平面方程．答案:令F(x，y，z)=xez-xyz-2则Fx=ez-yz，Fy=-xz，Fz=xez-xy故所求切平面方程为2(x-1)+(-ln2)(y-0)+2(z-ln2)=0即2x-ln2·y+2z=2+2ln2问题:4.求函数f(x，y，z)=x3+x2y+y2z+z2+1在点(1，1，1)处的梯度．答案:Fx=3x2+2xy，Fy=x2+2yz，Fz=y2+2z问题:5.求函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+2的极值．答案:∵F(x，y)=x2+xy+y2+x-y+2令A=Fxx(-1，1)=2，B=Fxy(-1，1)=1，C=Fyy(-1，1)=2∴B=AC=-3＜0又A=2＞0∴f(x，y)在(-1，1)处取得极小值．极小值为f(-1，1)=1问题:6.设区域D是由曲线y=x，y=2x-x2所围成的平面区域，求二重积分．答案:积分区域如图所示问题:7.求曲线，其中L为椭圆等，其周长为a．答案:由于L的参数方程为问题:8.求曲线积分，其中L是正向椭圆4x2+y2=8x．答案:问题:9.计算．其中D是圆形区域x2+y2≤1．答案:令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤0≤2π，0≤r≤1问题:10.求幂级数的收敛域．答案:设问题:11.判断级数的敛散性．答案:记，考虑函数f(x)=ex-1(x≥0)由于f(x)在[0，+∞)上连续，(0，+∞)内可导，且f'(x)=ex-1＞0∴当x＞0时f(x)＞f(0)=0，即f(x)是正值单调增加函数．由此可知所给级数为交错级数，{un}单调减少，又，山莱布尼茨定理知所给级数收敛．问题:12.求二阶微分方程xy"-y'=x3．答案:令这是一个一阶线性非齐次微分方程，由通解公式得四、综合题问题:1.设函数z=f(x2-y2，y2-x2)，其中f具有连续的一阶偏导数．证明：答案:设u=x2-y2，v=y2-x2，则z=f(u，v)问题:2.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明．答案:设则积分区域D={(x，y)|0≤y≤1，0≤x≤}交换二次积分的积分次序有∴等式成立问题:3.没一物体占有空间区域Ω={(x，y，z)|0≤x≤2，0≤y≤1，0≤z≤3}，该物体在点(x，y，z)处的密度为ρ(x，y，z)=x+2y+z，求这个物体的质量．答案:由题意知
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