[专升本(国家)考试密押
题
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库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟115PAGE1/NUMPAGES1[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟115专升本高等数学(一)模拟115一、选择题问题:1.极限等于______A．2B．1C．D．0答案:D[解析]本题考查了函数的极限的
知识点
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．因x→∞时，；而sin2x是有界函数；所以由无穷小的性质知，．注：该题不是重要极限的类型．问题:2.设，则f'(x)=______A．B．C．D．答案:B[解析]本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．．注：因e2是常数，所以(e2)'=0．问题:3.极限等于______A.0B.1C.2D.+∞答案:D[解析]本题考查了洛必达法则的知识点．因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=．问题:4.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f'(x)＜0，则下列结论成立的是______A.f(0)＜0B.f(1)＞0C.f(1)＞f(0)D.f(1)＜f(0)答案:D[解析]本题考查了函数的性质的知识点．因f'(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．问题:5.曲线y=x3(x-4)的拐点个数为A.1个B.2个C.3个D.0个答案:B[解析]本题考查了曲线的拐点的知识点．因y=x4-4x3，于是y'=4x3-12x2，y"=12x2-24x=12x(x-2)，令y"=0，得x=0，x=2；具有下表：x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)y"+0-0+问题:6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫cosxf(sinx)dx等于______A.F(cosx)+CB.F(sinx)+CC.-F(cosx)+CD.-F(sinx)+C答案:B[解析]本题考查了不定积分的知识点．．问题:7.下列积分中，值为零的是______A．B．C．D．答案:A[解析]本题考查了定积分的知识点．对于A选项，xsin2x为奇函数，由积分性质知，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，．故选A．问题:8.直线______A.过原点且与y轴垂直B.不过原点但与y轴垂直C.过原点且与y轴平行D.不过原点但与y轴平行答案:A[解析]本题考查了直线的知识点．若直线方程为，令比例系数为t，则直线可化为本题x0=y0=z0=0
说明
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直线过原点，以β=0，则y=0，即此直线在xOz内，即垂直于y轴，所以选A．问题:9.设函数，则fy(1，0)等于______A.0B.1C.2D.不存在答案:B[解析]本题考查了二元函数在一点处的一阶偏导的知识点．因f(1，y)=y，故fy(1，0)=f'(1，y)|y=0=1．问题:10.下列级数中，绝对收敛的是______A．B．C．D．答案:C[解析]本题考查了级数的绝对收敛的知识点．对于A选项，因，且发散，故A项发散；对于B选项，因是的p级数，因p＜1，发散，说明B项不绝对收敛；对于C选项，因是公比的等比级数，因|q|＜1，故收敛，即原级数绝对收敛；对于D选项，，它比调和级数少前面2项，故发散，即D项不绝对收敛．二、填空题问题:1.设若f(x)在x=1处连续，则a=______．答案:[解析]本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．由，．且f(1)=1，所以f(x)在x=1连续，应有1=sina，所以．问题:2.极限______．答案:e-1[解析]本题考查了的应用的知识点．因．问题:3.，求dy=______．答案:[解析]本题考查了一元函数的微分的知识点．，所以．问题:4.，y=t3，则=______．答案:-3t2(1+t)2[解析]本题考查了由参数方程确定的函数的导数的知识点．-3t2(1+t)2．问题:5.y=y(x)是由方程xy=ey-x确定的函数，则dy=______．答案:[解析]本题考查了隐函数的微分的知识点．方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy'=ey-x(y'-1)，所以，即．注：由一阶微分的形式不变性可求解如下：ydx+xdy=ey-x(dy-dx)，即(cy-x-x)dy=(y+(2y-x)dx，所以．问题:6.______．答案:[解析]本题考查了不定积分的换元积分的知识点．由，令tanx=u，则原式=．问题:7.设，则______．答案:[解析]本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点．，则所以．问题:8.若D是中心在原点、半径为a的圆形区域，则______．答案:[解析]本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点．．问题:9.幂级数的收敛区间为______．答案:(-2，2][解析]本题考查了幂级数的收敛区间的知识点．由，则收敛半径R=2，而x=2时，级数收敛，x=-2时，级数发散，所以收敛区间为(-2，2]．注：不考虑端点时，收敛区间可写为(-2，2)．问题:10.方程y"+y'+y=2xe-x的特解可设为y*=______．答案:(Ax+B)e-x(A、B为待定常数)[解析]本题考查了二阶线性微分方程的特解的知识点．方程y"+y'+y=0的特征方程为r2+r+1=0，特征根为，方程的非齐次项为2xe-x，-1不是特征根，故原方程有特解y*=(Ax+B)e-x，A、B为待定常数．三、解答题问题:1.设函数，求y'．答案:对数求导法．因，于是，两边取对数，有lny=，两边对x求导，得，故，即．注：本题另解为复合函数求导法。因，于是有y'=．问题:2.如果，求f(x)．答案:由题设知两边同时求导得，设f(x)≠0，则．所以问题:3.设f(x)的一个原函数为，求∫xf'(x)dx．答案:由题设知，故．注：本题若从，代入积分中计算∫xf'(x)dx运算比较繁琐，不宜采用．问题:4.求．答案:注：本题另解如下：令x=2sint，dx=2costdt．则问题:5.求方程的通解．答案:原方程可分离变量，化为，两边积分得，通解为．问题:6.计算，其中D是由y=x和y2=x围成．答案:注：本题若按另一种次序积分，即这个积分很难求解，因此可知，二重积分化成二次积分求解时，要注意选择适当的顺序．问题:7.设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，确定了函数z=f(x，y)，求．答案:在2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z两边对x求导，则有，整理得．同理，由，得，所以．注：本题另解如下：记F(x，y，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z．则，，，故问题:8.讨论曲线的单调性、极值、凸凹性、拐点．答案:，令y'=0得x=e．而，令y"=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y'＜0，y"＜0，故y单调下降，上凸．当1＜x＜e时，y'＜0，y"＞0，故y单调下降，下凸．当e＜x＜e2时，y'＞0，y"＞0，故y单调上升，下凸．当e2＜x<+∞时，y'＞0，y"＜0，故f(x)单调上升，上凸．当x=e时，y有极小佰2e，且(e2，e2)是拐点．
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