3.2 简单的三角恒等变换(一)【自主预习】主MATCH_
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示sin2α,cos2α,tan2α?提示:根据倍角公式,sin2α=(1-cos2α),cos2α=(1+cos2α),tan2α=2.如何用cosα表示sin2,cos2,tan2?提示:sin2=(1-cosα),cos2=(1+cosα),3.如何用cosα表示sin,cos,tan?提示:在上述变式式子的基础上通过开方运算即可.通过以上探究过程,试着写出半角公式:sin=__________;cos=__________;tan=__________【深度思考】通过教材P140例2你认为应如何进行三角恒等变换?第一步:_____________________________________________.第二步:_____________.第三步:_________________.第四步:___________.寻找角间关系,并以此为依据选择联系它们的公式进行式的变换进行角的适当换元整理并化简【预习小测】1.已知cosα=,且α∈(0,π),则cos的值为 ( )【解析】选A.因为α∈(0,π)所以2.已知sinθ=-,3π<θ<,则tan的值为( )A.-3B.3C.-D.【解析】选A.因为3π<θ<,所以cosθ=3.已知cosα=且0<α<π,则sin= .【解析】因为0<α<π,所以0<<,
答案
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:4.已知cos12°=m,则cos6°= .【解析】因为cos12°=m,所以cos6°=答案:5.已知cosα=-,且180°<α<270°,则tan= .【解析】因为180°<α<270°,所以90°<<135°,所以tan<0,所以tan=答案:-2【互动探究】1.半角公式中根号前面的正负号怎样确定?提示:符号由所在象限决定.2.利用倍角公式,半角的正切公式还可以作如何变形?提示:【探究总结】知识归纳:方法总结:三角恒等变换的方法(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角
函数
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种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【题型探究】类型一:应用半角公式求值【典例1】已知sinα=-且π<α<π,求sin,cos,tan的值.【解题指南】先由sinα求出cosα,然后结合半角公式及的范围求sin,cos,tan的值.【解析】因为sinα=-,π<α<π,所以cosα=-.又【规律总结】半角公式与倍角公式的关系及应注意的问题(1)半角公式与倍角公式是相对而言的,即2α是α的二倍角,α是2α的半角.(2)在三角函数问题中用到半角公式时,通常借助于倍角公式推导出再应用,亦可直接利用半角公式求解.(3)在利用半角公式解题时,注意判断角的范围,以免产生增根.提醒:在利用半角公式求值时,注意角的范围,根据角的范围得出所求值的符号.【巩固训练】(2016·潍坊高一检测)若cosα=-,α是第三象限的角,则 ( )A.- B. C.2 D.-2【解析】选A.因为α是第三象限角，cosα=-，类型二:三角函数式的化简【典例2】(1)(2016·深圳高一检测)已知α是第三象限角,则= ( )(2)(2016·长春高一检测)的化简结果是 .【解题指南】(1)先使用半角公式升幂,再开方化简或被开方数的分子、分母同乘以(1-cosα)或(1+cosα),再开方化简.(2)把被开方数升幂,写成平方的形式,再开方化简.【解析】(1)方法一:选A.因为α是第三象限角,则是第二或第四象限角.方法二:选A.原式=(2)原式==2|cos4|+=2|cos4|+2|sin4-cos4|.因为所以cos4<0,sin4
0，所以原式=-cosθ.类型三:三角恒等式的证明【典例3】证明:【解题指南】(1)从左往右证明,切化弦,逆用两角和与差的正弦公式.(2)从左往右证明,先用半角公式转化cosx-1和1-cosx再化简证明.(3)由利用等比定理即可证明.【证明】(1)左边=所以原等式成立.【规律总结】三角恒等式证明的常见途径(1)从复杂的一端向简单一端化简,即化繁为简.(2)两边化简,使其都等于中间某个式子,即左右归一.(3)把式子中的切函数化为弦函数,即化切为弦.(4)利用分析法、综合法找与原式等价的式子,即等价化归.【巩固训练】求证:【证明】左边=右边，所以原等式成立．
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