南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（文科）全卷满分150分考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（）A.B.C.D.2．已知复数，则（）A.1B.C.D.53．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（）A.B.C.D.4．设等差数列的前项和为，若，则（）A.21B.22C.23D.245．下列命题中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则6．如图所示的流程图，最后输出的的值为（）A.3B.4C.5D.67．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（）A.B.C.D.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）A.B.C.D.9．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A.B.C.D.10．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离12．已知当时，关于的方程有唯一实数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量与的夹角为，且，则_______.14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________．15．设数列的前项和为，且，，则__________．16．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为_______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个
试题
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考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本题满分12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知的面积为，求边长的值.18．（本题满分12分）如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.19．（本题满分12分）2020年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量
标准
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》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2020年1月1日到2020年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中采用分层抽样的方法抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．20.（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程.21.（本题满分12分）已知函数，，．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）求证：有且仅有一个零点．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为3.（1）求的值；（2）求证：.南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试题（文科）参考
答案
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1．B【解析】由题得=={x|0，1,2}，所以A∩B={0,1,2}.故选B.2．C【解析】.故选3．D【解析】根据题意，恰有一人晋级就是甲晋级乙没有晋级或甲没有晋级乙晋级，则所求概率是故选D．4．A【解析】由题意＝15，，∴．故选A．5．A【解析】对于．∵即，∴，正确；对于．∵即，的正负不知道，则，大小也无法判断，错误；对于．∵，，无法判断与的大小关系，错误；对于．∵，，不知道，，，正负，无法判断与的大小关系，故选．6．C【解析】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2n=4，n2=4，故有n=n+1=3，此时2n=8，n2=9，故有n=n+1=4，此时2n=16，n2=16，故有n=n+1=5，此时2n=32，n2=25，即满足2n＞n2故输出n的值5．故选：C．7．A【解析】因为，所以，则该切线的斜率，则.故选A．8．B【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，即这五个点都是棱长为的正方体的顶点，所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球，所以外接球的直径是正方体的对角线为，所以半径，从而求的球的体积为，故选B.9．B【解析】平移后函数解析式为，令，则，．故选B．10．A【解析】P为假，即“∀x∈R,x2+2ax+a>0”为真，∴△=4a2−4a<0⇒0
表
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示可行域内的点与原点的距离的平方．由图知，所以．故答案为：2.15．【解析】①，②，①②得：，又∴数列首项为1，公比为的等比数列，∴．故结果为85；16．【解析】取中点，中点，中点则，即为所求角，设，，得17．【解析】（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴所以∴.（２）由已知及正弦定理又SΔABC=，∴，得由余弦定理得.18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE//AC，GF//AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC．（Ⅱ）∵平面ABC，∴．又∴平面PAB．又∴，∴．记点P到平面BCD的距离为d，则∴，∴，所以，点P到平面BCD的距离为．19.【解答】（Ⅰ）这120天中抽取30天，采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P（A）=20．【解析】（1）依题意得解得∴椭圆的方程为.（2）由消去整理得，其中设，则，，∴，又原点到直线的距离.∴，令，则，∴当时，取得最大值，且，此时，即.∴直线的方程为∴的面积取最大值时直线的方程为.21.（Ⅰ）解：依题意．令，，则．所以在区间上单调递减．所以的最小值为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，且，．当时，在上单调递减．因为，，所以有且仅有一个零点．当，即时，，即，在上单调递增．因为，，所以有且仅有一个零点．当时，，，所以存在，使得．，，的变化情况如下表：+0-↗极大值↘所以在上单调递增，在上单调递减．因为，，且，所以，所以有且仅有一个零点．综上所述，有且仅有一个零点．22．【解析】（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：．（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴．23．【解析】(1)所以,即(2)由，则原式等价为：，即,而,当且仅当，即时，“=”成立，故原不等式成立。
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