甘肃省兰州第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

PAGE甘肃省兰州第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．下列命题中,正确命题的个数为(　　)①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．A．0B．1C．2D．32．命题“且的否定形式是(　　)A．且B．或C．且D．或3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　)A．2B．1C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)4．已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是()A．B．C．D．5．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是(　　)A．B．C．或D．6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,20)＝1B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝17．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜D．－1＜x＜68．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq\r(7))，点A(eq\r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)A．8B．10C．4＋3eq\r(7)D．3＋3eq\r(17)9．在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则=(　　)A．0B．C．D．10．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(　　)A．B.C．　D．11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点，若,则＝(　　)A．B．C．D．12．已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．[eq\r(2)，eq\r(2)＋eq\r(6)]B．[2，eq\r(3)＋1]C．[2，eq\r(2)＋eq\r(6)]D．[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则x+y=．14．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最小值为________．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq\f(1,2)，第2关收税金为剩余的eq\f(1,3)，第3关收税金为剩余的eq\f(1,4)，第4关收税金为剩余的eq\f(1,5)，第5关收税金为剩余的eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x．16．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知命题p：函数y=x2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y=-4x2+4(2-m)x-1，y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝eq\f(\r(2),2)AB=2．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且MN=3，求AMN的面积．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3，2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．兰州一中2020-1学期期末考试试题高二数学（理）命题人:审题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．下列命题中,正确命题的个数为(　　)①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．A．0B．1C．2D．3答案　C2．命题“且的否定形式是(　　)A．且B．或C．且D．或答案　B3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　)A．2B．1C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)解析　由y＝4x2得x2＝eq\f(1,4)y，所以2p＝eq\f(1,4)，p＝eq\f(1,8)，则抛物线的焦点到准线的距离为eq\f(1,8).答案　D4．已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是()A．B．C．D．答案　A5．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是(　　)A．B．C．或D．答案　A6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,20)＝1B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1答案　B7．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜D．－1＜x＜6答案　D8．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq\r(7))，点A(eq\r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)A．8B．10C．4＋3eq\r(7)D．3＋3eq\r(17)答案　B9．在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则=(　　)A．0B．C．D．答案　D10．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(　　)A．B.C．　D．答案　A11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点，若,则＝(　　)A．B．C．D．答案　C12．已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．[eq\r(2)，eq\r(2)＋eq\r(6)]B．[2，eq\r(3)＋1]C．[2，eq\r(2)＋eq\r(6)]D．[eq\r(2)，eq\r(3)＋1]答案　D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则x+y=．答案　-14．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最小值为________．答案　615．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq\f(1,2)，第2关收税金为剩余的eq\f(1,3)，第3关收税金为剩余的eq\f(1,4)，第4关收税金为剩余的eq\f(1,5)，第5关收税金为剩余的eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x．答案　eq\f(1,72)16．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．答案三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知命题p：函数y=x2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y=-4x2+4(2-m)x-1，y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．解：若函数y=x2+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，则-≤-2，∴m≥2，即p：m≥2                     ……………………………2分若函数y=-4x2+4（2-m）x-1≤0恒成立，则△=16（m-2）2-16≤0，解得1≤m≤3，即q：1≤m≤3                ……………………………5分∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假当p真q假时，由解得：m>3  ……………………………7分当p 假q真时，由解得：1≤m<2   ……………………………9分综上，m的取值范围是{m|m>3或1≤m<2}       …………………………10分18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝eq\f(\r(2),2)AB=2．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的余弦值．解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD..............................4分(2)由AC＝CB＝eq\f(\r(2),2)AB，得AC⊥BC以C为坐标原点，eq\o(CA,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，．设是平面A1CD的法向量，则可取．同理，设是平面A1CE的法向量，则可取．从而.即二面角D－A1C－E的余弦值为.................................12分19．（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且MN=3，求AMN的面积．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故抛物线方程为y2＝4x，准线为x＝-1.……………………………4分(2)设直线l的方程为y＝－2x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t,y2＝4x))得y2＋2y－2t＝0.∴y1+y2=-2,y1y2=-2t,……………………………6分∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).由MN==3得t=4，……………………………10分又A到直线l的距离为d=……………………………11分∴AMN的面积为S=MN﹒d=6.……………………………12分20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．(1)证明　因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3).连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC..............................6分(2)解　如图，以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，2，2eq\r(3)).取平面PAC的一个法向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，0，0).设M(a，2－a，0)(0