第十四章动能定理引言§14—1力的功§14—2质点和质点系的动能§14—3动能定理§14—4功率·功率方程·机械效率§14—5势力场·势能·机械能守恒定律§14—6普遍定理的综合应用举例与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。引言动量定理和动量矩定理动能定理矢量标量能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。§14—1力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是代数量。一．常力的功单位：焦耳（Ｊ）；时,正功；时,功为零；时,负功。二．变力的功元功：在一无限小位移中力作的功。力F在曲线路程 中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式） 质点M受n个力 作用合力为 ，则合力FR的功在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。即 三．合力的功四．常见力的功质点系： 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。质点：重力在三轴上的投影：1．重力的功在弹性极限内，弹性力的大小与其变形量δ成正比，即2．弹性力的功力的方向总是指向自然位置(即弹簧未变形时端点的位置A0)。k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力单位为N/m,N/mm以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。令沿矢径方向的单位矢量为ro，弹簧的自然长度为l0，则弹性力F与ro的反向当弹簧伸长时r＞l0F与ro的同向当弹簧压缩时r
0质点动能减小。力作负功W<02．质点系的动能定理对质点系中的一质点mi：对整个质点系，有质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能的改变量．等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。3.理想约束①理想约束反力的功2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承1．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）4．柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。5．刚性二力杆在理想约束条件，质点系动能的改变只与主动力作功有关②摩擦力的功FN=常量时,W=–fFNS(1)动滑动摩擦力的功一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦力的功。,与质点的路径有关。正压力FN，摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的元位移若M=常量(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶M的功则不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。③质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)解：取系统为研究对象上式求导得：[例2]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA杆由[例3]行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象根据动能定理，得将上式对t求导数，得[例4]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。解：取整个系统为研究对象例14—1质量为m的质点，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚性系数为k。求弹簧的最大压缩量。解：取质点为研究对象①质点从位置I落到板上根据动能定理，得质点从落到板上到弹簧被压缩到最大值根据动能定理，得②质点从位置I到板上到弹簧被压缩到最大值例14—2卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为ml，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。其中鼓轮对于中心轴O的转动惯量圆柱对于过质心C的轴的转动惯量根据动能定理，得其中例14—3在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。解：选取绞车和重物为研究的质点系。重物的静止位置和升高了A的位置作为质点系运动的始点和终点。根据动能定理，得(a)将式(a)两端对时间间取一阶导数解得应用动能定理解
题
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的步骤：(1)选取某质点系(或质点)作为研究对象(2)选定应用动能定理的一段过程；(5)应用动能定理建立方程，求解未知量。(3)分析质点系的运动，计算在选定的过程起点和终点的动能；(4)分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作的功，并求它们的代数和；§14—4功率·功率方程·机械效率1．功率力在单位时间内所作的功功率是代数量，并有瞬时性。衡量机器工作能力的一个重要指标作用力的功率力矩的功率功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。取质点系动能定理的微分形式2.功率方程两端除以dt，得功率方程即质点系动能对时间的一阶导数．等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。输入功率无用功率（损耗功率）有用功率（输出功率）系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化率的和。P输入-P有用-P无用P输入=P有用+P无用+分析：起动阶段（加速）： 即 P输入>P有用+P无用制动阶段（减速）： 即P输入
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
中，把有效功率(包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变的功率)与输入功率的比值称为机器的机械效率，即输入功率其中有效功率=P有用+是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。机器传动部分的机械效率I—II、II—III、III—IV各级的效率分别为η1、η2、η3，则I—IV的总效率为对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积，即例14—7车床的电动机功率Pλ＝5.4kW。由于传动零件之间的摩擦，损耗功率占输入功率的30％。如工件的直径d＝100mm，转速n＝42r／min，问允许切削力的最大值为多少?若工件的转速改为n’＝112r／min。问允许切削力的最大值为多少?解：车床的输入功率P入=5.4kW无用功率P无用=P入×30%=1.62kW当工件匀速转动时，有用功率为P有用=P入-P无用=3.78kW设切削力为F，切削速度为v，则P有用=Fv即例14—8带式运送机如图所示。胶带的速度为v＝1m/s，输送量为qm＝2000kg/min，输送高度为h＝5m。胶带传动的机械效率为η1＝0.6，减速箱的机械效率为η2＝0.4。求电动机的功率。解：设电动机的功率为P，它是运送机的输人功率。运送机的总效率有效的功率例14—9在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的加速度。解：选取绞车和重物为研究的质点系。系统动能系统总功率功率方程例14—10物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度系数为k，质量不计。滑轮半径为R，转动惯量为J。不计轴承摩擦，试建立此系统的运动微分方程。解：设弹簧由自然位置拉长任一长度s系统的动能重力功率弹性力功率功率方程对坐标s的运动微分方程设系统静止时弹簧拉长量为δ0以平衡位置为参考点，物体下降s时弹簧伸长量为s=δ0+x对坐标x的运动微分方程弹簧倾斜角度θ与系统运动微分方程无关。§14—5势力场·势能·机械能守恒定律 一．势力场 重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。2．势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。二．势能M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。 在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能，用V表示。几种常见的势能1.重力场中的势能取M0为零势能点，则质点的势能为对质点系，取各质点的z坐标为z10，z20，…zn0时为零势能位置，则质点系各质点z坐标为z1，z2，…zn时的势能2.弹性力场中的势能取M0为零势能点，则质点的势能为取弹簧的自然位置为零势能点3.万有引力场中的势能取A0为零势能点，则质点的势能为取零势能点在无穷远处，即r1＝∞，得有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。在M1位置：M2位置：M1→M2：三．有势力的功对非保守系统，设非保守力的功为W12',则有四．机械能守恒定律 保守系统设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则—机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。初瞬时：由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。由机械能守恒定律：将 代入上式，化简后得任一瞬时：§14—6普遍定理的综合应用举例动力学普遍定理动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题相对于质心的动量矩定理描述了质点系机械运动的总体情况；用于刚体，可建立起刚体运动的基本方程质心运动定理动量定理或动量矩定理质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。动能定理有些情况下质点系的内力作功并不等于零，应用时要具体分析质点系内力作功问题。一、根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：二、对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。 [例1]两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。讨论动量守恒定理＋动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。代入动能定理：[例2]均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得[例3]重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象圆盘平动（2）用动能定理求速度取系统为研究对象T1=0最低位置时T1=0由动能定理：（3）用动量矩定理求杆的角加速度盘质心加速度：杆质心C的加速度：（4）由质心运动定理求支座反力代入数据，得研究整个系统相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。[例4]基本量计算(动量,动量矩,动能)解：取杆为研究对象由质心运动定理：[例5]均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。（∵初瞬时杆的角速度0=0）由动量矩定理：例14—14均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上住复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。解：方法一：用功率方程均质圆轮作平面运动应用功率方程应用功率方程质心的弧坐标得方法二：用机械能守恒定律取质心的最低位置O为重力场零势能点机械能守恒例14—15如图所示系统中，A、B二轮质量皆为m1，转动惯量皆为J；大轮半径皆为R，小轮半径皆为R/2。两啮合齿轮压力角为α。如B轮的大轮上绕有细绳，挂一质量为m2的重物；A轮小轮上绕有细绳连一刚度为k的无重弹簧。现于弹簧的原长处自由释放重物，试求重物下降h时的速度、加速度以及齿轮间的切向啮合力和轴承B处的约束反力。解：①用动能定理求重物下降h时的速度和加速度根据动能定理，有将式(a)两端对时间取一次导数，得(a)②用动量矩定理求作用力取B轮及重物为研究对象系统对轴B的动量矩定理切向啮合力径向啮合力③用动量定理求作用力系统沿x轴方向动量为零，由动量定理沿x轴投影式动量定理沿y轴投影式
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