7.1 简单几何体侧面积第一章 §7 简单几何体面积和体积1/44学习目标1.经过对柱体、锥体、台体研究,掌握柱体、锥体、台体表面积求法.2.了解柱体、锥体、台体表面积计算公式;能利用柱体、锥体、台体表面积公式进行计算和处理相关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.2/44问题导学达标检测题型探究内容索引3/44问题导学4/44知识点一 圆柱、圆锥、圆台表面积思索1 圆柱OO′及其侧面展开图以下,则其侧面积为多少?表面积为多少?
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
S侧=2πrl,S表=2πr(r+l).5/44思索2 圆锥SO及其侧面展开图以下,则其侧面积为多少?表面积为多少?答案 底面周长是2πr,利用扇形面积公式得S表=πr2+πrl=πr(r+l).6/44思索3 圆台OO′及其侧面展开图如右,则其侧面积为多少?表面积为多少?答案 圆台侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,S扇环=S大扇形-S小扇形=(x+l)×2πR-x·2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l,所以,S圆台侧=π(r+R)l,S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).7/44 图形表面积公式旋转体圆柱底面积:S底=_____侧面积:S侧=______表面积:S=_________圆锥底面积:S底=____侧面积:S侧=____表面积:S=________梳理 圆柱、圆锥、圆台侧面积公式2πrl2πr22πr(r+l)πr2πrlπr(r+l)8/44旋转体圆台上底面面积:S上底=______下底面面积:S下底=____侧面积:S侧=____________表面积:S=__________________πr2πr′2π(r′l+rl)π(r′2+r2+r′l+rl)9/44知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积思索1 类比圆柱侧面积求法,你认为怎样求直棱柱侧面积?假如直棱柱底面周长为c,高为h,那么直棱柱侧面积是什么?答案 利用直棱柱侧面展开图求棱柱侧面积.展开图如图,不难求得S直棱柱侧=ch.10/44思索2 正棱锥侧面展开图如图,设正棱锥底面周长为c,斜高为h′,怎样求正棱锥侧面积?答案 正棱锥侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和,不难得到S正棱锥侧=ch′.11/44思索3 下列图是正四棱台展开图,设下底面周长为c,上底面周长为c′,你能依据展开图,归纳出正n棱台侧面面积公式吗?答案 S正棱台侧=n(a+a′)h′=(c+c′)h′.12/44梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧=c·hc—底面周长h—高正棱锥S正棱锥侧=c·h′c—底面周长h′—斜高13/44正棱台S正棱台侧=(c+c′)·h′c、c′—上、下底面周长h′—斜高14/44[思索辨析判断正误]1.斜三棱柱侧面积也能够用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.( )2.多面体表面积等于各个面面积之和.( )3.圆柱一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱侧面积是2πS.( )×√×15/44题型探究16/44例1 圆台上、下底面半径分别为10cm和20cm.它侧面展开图扇环圆心角为180°,则圆台表面积为多少.类型一 旋转体侧面积(表面积)解答17/44解 如图所表示,设圆台上底面周长为c,因为扇环圆心角是180°,故c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以=π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圆台表面积为1100πcm2.18/44反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆面积之和.19/44跟踪训练1 (1)圆柱侧面展开图是两边长分别为6π和4π矩形,则圆柱表面积为A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)解析答案√20/44解析 由题意,圆柱侧面积S侧=6π×4π=24π2.①当以边长为6π边为母线时,4π为圆柱底面周长,则2πr=4π,即r=2,所以S底=4π,所以S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1).②当以边长为4π边为母线时,6π为圆柱底面周长,则2πr=6π,即r=3,所以S底=9π,所以S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).21/44(2)圆锥中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面积比为A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析答案√解析 如图所表示,PB为圆锥母线,O1,O2分别为截面与底面圆心.因为O1为PO2中点,所以PA=AB,O2B=2O1A.又因为S圆锥侧=π·O1A·PA,S圆台侧=π·(O1A+O2B)·AB,22/44类型二 多面体侧面积(表面积)及应用例2 如图所表示,已知六棱锥P-ABCDEF,其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面投影是正六边形中心,底面边长为2cm,侧棱长为3cm.求六棱锥P-ABCDEF表面积.解答23/44解 24/44反思感悟 多面体中相关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算,对于棱锥中计算问题往往要结构直角三角形,即棱锥高、斜高以及斜高在底面上投影组成直角三角形,或者由棱锥高、侧棱以及侧棱在底面上投影组成直角三角形.25/44跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8cm,求它侧面积.解答26/44解 方法一 如图,作B1F⊥BC,垂足为F,设棱台斜高为h′.在Rt△B1FB中,B1F=h′,B1B=8cm,27/44方法二 延长正四棱台侧棱交于点P,如图,设PB1=xcm,得x=8cm.∴PB1=B1B=8cm,∴E1为PE中点.28/44∴S正棱台侧=S大正棱锥侧-S小正棱锥侧29/44类型三 组合体侧面积(表面积)例3 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求此旋转体表面积.解答30/44解 如图所表示,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥组成.在直角梯形ABCD中,AD=a,BC=2a,又DD′=DC=2a,则S表=S圆柱表+S圆锥侧-S圆锥底31/44反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积影响.(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉部分组成组合体,要注意新产生截面和原几何体表面改变.32/44跟踪训练3 已知△ABC三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体表面积.解答33/44解 如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB,垂足为点D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC.所以BC·AC=AB·CD,那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底圆锥,且底面半径r=,母线长分别是AC=3,BC=4,34/44达标检测35/441.一个圆锥表面积为πam2,且它侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面半径为解析 设圆锥母线长为l,底面半径为r,12345答案解析√36/4412345答案解析√37/44解析 如图,O1,O分别是上、下底面中心,则O1O=cm,连接A1O1并延长交B1C1于点D1,连接AO并延长交BC于点D,连接DD1,过D1作D1E⊥AD于点E.在Rt△D1ED中,D1E=O1O=cm,1234538/44233.如图所表示,圆台上、下底半径和高比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台侧面积为________.451答案解析 设圆台上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.解析100π∴r=2.故圆台上、下底半径和高分别为2,8,8.所以圆台侧面积为π(2+8)×10=100π.39/444.若圆台高是12,母线长为13,两底面半径之比为8∶3,则该圆台表面积为______.23451解析 设圆台上底面与下底面半径分别为r,R,∵r∶R=3∶8,∴r=3,R=8.S侧=π(R+r)l=π(3+8)×13=143π,则表面积为143π+π×32+π×82=216π.216π答案解析40/445.正三棱锥S-ABC侧面积是底面积2倍,它高SO=3,求此正三棱锥侧面积.解答2345141/4423451解 设正三棱锥底面边长为a,斜高为h′,如图所表示,过O作OE⊥AB,垂足为E,连接SE,则SE⊥AB,且SE=h′.因为S侧=2S底,因为SO⊥OE,所以SO2+OE2=SE2.42/442345143/441.多面体表面积为围成多面体各个面面积之和.2.相关旋转体表面积计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽可能归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相同相关知识求解.3.S圆柱表=2πr(r+l);S圆锥表=πr(r+l);S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).规律与方法44/44