热统第一章作业答案

1.1试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT​。解：已知理想气体的物态方程为pV=nRT,（1）由此易得α=V1​(∂T∂V​​)p​=pVnR​=T1​,（2）β=p1​(∂T∂p​​)V​=pVnR​=T1​,（3）κT​=−V1​(∂p∂V​​)T​=(−V1​​)(−p2nRT​​)=p1​.（4）1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT​，根据下述积分求得：lnV=∫(αdT−κT​dp​)如果α=T1​,κT​=p1​，试求物态方程。解：以T,p为自变量，物质的物态方程为V=V(T,p​),其全微分为dV=(∂T∂V​​)p​dT(∂p∂V​​)T​dp.（1）全式除以V，有VdV​=V1​(∂T∂V​​)p​dTV1​(∂p∂V​​)T​dp.根据体胀系数α和等温压缩系数κT​的定义，可将上式改写为VdV​=αdT−κT​dp.（2）上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV=∫(αdT−κT​dp​).（3）若α=T1​,κT​=p1​，式（3）可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为lnV=∫(T1​dT−p1​dp​).（4）选择图示的积分路线，从(T0​,p0​)积分到(T,p0​​)，再积分到（T,p），相应地体积由V0​最终变到V，有lnV0​V​=lnT0​T​−lnp0​p​,即TpV​=T0​p0​V0​​=C（常量），或pV=CT.（5）式（5）就是由所给α=T1​,κT​=p1​求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。1.8满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn​为Cn​=n−1n−γ​CV​解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量Cn​=ΔT→0lim​(ΔTΔQ​​)n​=(∂T∂U​​)n​p(∂T∂V​​)n​.（1）对于理想气体，内能U只是温度T的函数，(∂T∂U​​)n​=CV​,所以Cn​=CV​p(∂T∂V​​)n​.（2）将多方过程的过程方程式pVn=C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得TVn−1=C1​（常量）。    　    （3）将上式微分，有Vn−1dT(n−1)Vn−2TdV=0,所以(∂T∂V​​)n​=−(n−1)TV​.（4）代入式（2），即得Cn​=CV​−T(n−1)pV​=n−1n−γ​CV​,（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在p−V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有W=Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1​升至T2​。假设γ是常数，试证明前者的熵增加值为后者的γ倍。解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为S=Cp​lnT−nRlnpS0​.（1）在等压过程中温度由T1​升到T2​时，熵增加值ΔSp​为ΔSp​=Cp​lnT1​T2​​.（2）根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为S=CV​lnTnRlnVS0​.（3）在等容过程中温度由T1​升到T2​时，熵增加值ΔSV​为ΔSV​=CV​lnT1​T2​​.（4）所以ΔSV​ΔSp​​=CV​Cp​​=γ.（5）1.1810A的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1s。（a）若电阻器保持为室温27∘C，试求电阻器的熵增加值。（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27∘C，电阻器的质量为10g，比热容cp​为0.84J⋅g−1⋅K−1,问电阻器的熵增加值为多少？解：（a）以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27∘C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由Ti​升为Tf​，所以有mcp​(Tf​−Ti​)=i2Rt,故Tf​=Ti​mcp​i2Rt​=30010−2×0.48×103102×25×1​≈600K.电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为ΔS=∫Ti​Tf​​Tmcp​dT​=mcp​lnTi​Tf​​=10−2×0.84×103ln300600​=5.8J⋅K−1.1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为Ti​。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2​为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为Wmin​=Cp​(T2​Ti2​​T2​−2Ti​​)解：制冷机在具有相同的初始温度Ti​的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至T2​为止。以T1​表示物体1的终态温度，Cp​表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为Q1​=Cp​(T1​−Ti​​)（1）物体2放出的热量为Q2​=Cp​(Ti​−T2​​)（2）经多次循环后，制冷机接受外界的功为W=Q1​−Q2​=Cp​(T1​T2​−2Ti​​)（3）由此可知，对于给定的Ti​和T2​，T1​愈低所需外界的功愈小。用ΔS1​,ΔS2​和ΔS3​分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为ΔS=ΔS1​ΔS2​ΔS3​≥0（4）显然ΔS1​=Cp​lnTi​T1​​,ΔS2​=Cp​lnTi​T2​​,ΔS3​=0.因此熵增加原理要求ΔS=Cp​lnTi2​T1​T2​​≥0,（5）或Ti2​T1​T2​​≥1,（6）对于给定的Ti​和T2​，最低的T1​为T1​=T2​Ti2​​,代入（3）式即有Wmin​=Cp​(T2​Ti2​​T2​−2Ti​​)（7）式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。