二次函数系数abc与图像的关系----精选练习题

二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数 y=ax2bxc系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则 a＜0．（2）b由对称轴和 a的符号确定：由 对称轴公式 x=判断符号．（3）c由抛物线与 y轴的交点确定： 交点在 y轴正半轴，则 c＞0；否则 c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与 x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点， b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定  abc的符号，当  x=-1时，可确定  a-bc的符号．（6）由对称轴公式  x=  ，可确定  2ab的符号．一．选择题（共  9小题）1．（2014?威海）已知二次函数  y=ax2bxc（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线  x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2bma＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（  ）A．1B．2C．3D．42．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2bxc（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②a﹣bc＜0；③b2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A． ③④B． ②③C． ①④D． ①②③3．（2014?南阳二模）二次函数 y=ax2bxc的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．  1个  B．  2个  C．  3个  D．  4个4．（2014?襄城区模拟）函数  y=x2bxc与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b1=0；③3bc6=0；④当1＜x＜3时，x2（b﹣1）xc＜0．其中正确结论的个数为（  ）A．1B．2C．3D．45．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2bxc图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a2bc＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则  y1＞y2．其中说法正确的是（  ）A．①②  B．②③  C．②③④  D．①②④6．（2014?莆田质检）如图，二次函数  y=x2（2﹣m）xm﹣3的图象交 y轴于负半轴，对称轴在  y轴的右侧，则  m的取值范围是（  ）A．m＞2  B．m＜3  C．m＞3  D．2＜m＜37．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2bxc图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2ab=0；③3ac=0；④abc=0．其中正确结论的个数是（  ）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线  y=ax2bxc与x轴交于点y轴的交点在（ 0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3ab＞0；③﹣1≤a≤﹣  ；④  ≤n≤4．A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与其中正确的是（）A．①②B．③④2C．①③D．①③④9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=axbxc（a＞0）的图象与11x轴交于点（﹣1，0），（x，0），且1＜x＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③ac＜0；④4a﹣2bc＞0．A．1个  B．2个  C．3个  D．4个10、（2011?重庆）已知抛物线  y=ax2bxc（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、abc＞011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2bxc的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①＞4ac；②abc＞0；③2ab=0；④abc＞0；⑤a-bc＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤b212、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2bxc的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（1），下列结论：①ac＜0；②ab=0；③4ac-b2=4a；④abc＜0．其中正确结论的个数是（A、1B、2C、3D、412，）答案一．选择题（共  9小题）1．（2014?威海）已知二次函数  y=ax2bxc（a≠0）的图象如图，则下列说法：2①c=0；②该抛物线的对称轴是直线  x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④ambma＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（  ）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：由抛物线与 y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与 y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：  ，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=abc∵对称轴是直线  x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为x=﹣1对应的函数值为y=am2bmc，y=a﹣bc，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣bc＜am2bmc，即a﹣b＜am2bm，∵b=2a，2∴ambma＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2bxc（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2bxc（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②a﹣bc＜0；③b2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点： 二次函数图象与系数的关系．专题： 数形结合．分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=abc=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与 x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣bc＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为  0＜x=﹣  ＜1，∴2ab＜0，故③正确；④对称轴为  x=﹣  ＞0，a＜0∴a、b异号，即  b＞0，由图知抛物线与  y轴交于正半轴，  ∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为 ②③ ．故选：B．点评：二次函数 y=ax2bxc系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和 a的符号确定：由对称轴公式x=﹣ 判断符号；（3）c由抛物线与 y轴的交点确定：交点在 y轴正半轴，则 c＞0；否则 c＜0；（4）当x=1时，可以确定  y=abc的值；当 x=﹣1时，可以确定  y=a﹣bc的值．3．（2014?南阳二模）二次函数  y=ax2bxc的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④  ＜0中，正确的结论有（  ）A．1个  B．2个  C．3个  D．4个考点：  二次函数图象与系数的关系．专题：  数形结合．分析：  由抛物线的开口方向判断  a与0的关系，由抛物线与  y轴的交点判断  c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴， ∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数 y=ax2bxc的图象与 x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴 x=﹣ ＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．2点评：  本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=axbxc系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014?襄城区模拟）函数  y=x2bxc与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b1=0；③3bc6=0；④当1＜x＜3时，x2（b﹣1）xc＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2bxc与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣bc＞0；当x=3时，y=93bc=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2bxc＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2bxc与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣bc＞0，故②错误；∵当x=3时，y=93bc=3，∴3bc6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2bxc＜x，∴x2（b﹣1）xc＜0．故④正确．故选C．点评：  主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2bxc图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a2bc＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点： 二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在 x轴下方得到 c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到 4a﹣2bc＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y）和点（2，y）离对称轴的远近对 ④进行判断．12解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线  x=﹣  =﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a2bc＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（  2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2bxc（a≠0），二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在 y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在 y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 y轴交于（0，c）．抛物线与 x轴交点个数： △=b2﹣4ac＞0时，抛物线与 x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2（2﹣m）xm﹣3的图象交 y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则 m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜3C．m＞3D．2＜m＜3考点： 二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于 m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数 y=x2（2﹣m）xm﹣3的图象交 y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在 y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2bxc图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2ab=0；③3ac=0；④abc=0．其中正确结论的个数是（  ）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：  二次函数图象与系数的关系．分析：  由抛物线的开口方向判断  a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与  x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴  x=  =﹣1，∴2a=b，2ab=4a，∵a≠0，∴2ab≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3bc=0，2a=b，所以9a﹣6ac=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与  y轴的交点在  y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当  x=1时y=0，∴abc=0，④正确．故选C．点评： 考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2bxc（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与 x轴交点的个数确定．8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2bxc与x轴交于点 A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3ab＞0；③﹣1≤a≤﹣ ；④ ≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点： 二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点 A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是 b=﹣2a，将其代入（ 3ab），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到 a=，然后根据 c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=abc= c，利用 c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2bxc与x轴交于点 A（﹣1，0），对称轴直线是 x=1，∴该抛物线与 x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴 x==1，∴b=﹣2a，∴3ab=3a﹣2a=a＜0，即3ab＜0．故②错误；③∵抛物线与 x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=  ．∵抛物线与  y轴的交点在（ 0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤  ≤  ，即﹣1≤a≤  ．故③正确；④根据题意知， a=  ，  =1，∴b=﹣2a=  ，∴n=abc= c．∵2≤c≤3，≤≤4， ≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有  ①③④  ．故选D．点评：  本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2bxc系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数  y=ax2bxc（a＞0）的图象与  x轴交于点（﹣ 1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（  ）①b＜0；②c＜0；③ac＜0；④4a﹣2bc＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断 c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：2解：①∵y=axbxc（a＞0）的图象与 x轴交于点（﹣ 1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在 y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与 y轴交于负半轴，∴c＜0正确；21，0），③∵二次函数 y=axbxc（a＞0）的图象与 x轴交于点（﹣∴a﹣bc=0，即ac=b，∵b＜0，∴ac＜0正确；④∵二次函数 y=ax2bxc（a＞0）的图象与 x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2bc＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．