题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型三 向量共线问题例3 设、不共线，求证点P、A、B共线的充要条件是：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.【
分析
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】 充分性由＝λ＋μ(λ＋μ＝1)出发，证得＝μ，从而得A，B，P三点共线．必要性，从A，B，P三点共线推出＝λ＋μ且λ＋μ＝1.【解析】 充分性：∵λ＋μ＝1，∴＝λ＋μ＝(1－μ)＋μ＝＋μ(－)＝＋μ，∴－＝μ.∴＝μ，∴、共线．∵有公共点A，∴A、P、B三点共线．必要性：若P、A、B三点共线，则＝μ＝μ(－)，∴－＝μ－μ，∴＝(1－μ)＋μ.令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，其中μ＋λ＝1.探究3 (1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．思考题3 设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)【证明】 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴与共线，∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)【解析】 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝±(λk－1)＝0，∴k＝±1.(2010·湖北卷，理)已知ΔABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案 B解析 由＋＋＝0得点M是ΔABC的重心，可知＝(＋)，＋＝3，则m＝3，选B.3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)λa＝(λx1，λy1)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)则＝(x2－x1，y2－y1)||＝4．向量平行与垂直的条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.②a、b均不为0时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0③a≠0，则与a平行的单位向量为±1．(08·陕西卷)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b.③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.⑤非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号)．答案 ②解析 ①由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，若a·b＝a·c则|a|·|b|cosθ＝|a|·|c|cosφ，∴|b|·cosθ＝|c|cosφ即只要b和c在a上的投影相等，则a·b＝a·c②中∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a、b为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题．例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5探究1 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算．(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．
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