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自然数平方和公式的推导与证明新课标(2)

自然数平方和公式的推导与证明新课标(2)自然数平方和公式的推导与证明新课标122232…n2=n(n1)(2n1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。设：S=122232…n2另设：S1=122232…n2(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=122232…n2(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2中的122232…n2=S，(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2可以展开为(...

自然数平方和公式的推导与证明新课标122232…n2=n(n1)(2n1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。设：S=122232…n2另设：S1=122232…n2(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=122232…n2(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2中的122232…n2=S，(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2可以展开为(n22n12)(n22×2n22)(n22×3n32)…(n22×nnn2)=n32n(123…n)122232…n2，即S1=2Sn32n(123…n)………………………………………………..(1)第二：S1=122232…n2(n1)2(n2)2(n3)2…(nn)2可以写为：S1=123252…(2n-1)2224262…(2n)2，其中：224262…(2n)2=22(122232…n2)=4S……………………………………..(2)123252…(2n-1)2=(2×1-1)2(2×2-1)2(2×3-1)2…(2n-1)2=(22×12-2×2×11)(22×22-2×2×21)2(22×32-2×2×31)2…(22×n2-2×2×n1)2=22×1222×2222×32…22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×nn=22×(122232…n2)-2×2(123…n)n=4S-4(123…n)n……………………………………………………………..(3)由(2)(3)得：S1=8S-4(123…n)n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2Sn32n(123…n)=8S-4(123…n)n即：6S=n32n(123…n)4(123…n)-n=n[n2n(1n)2(1n)-1]=n(2n23n1)=n(n1)(2n1)S=n(n1)(2n1)/6亦即：S=122232…n2=n(n1)(2n1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n1)(2n1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n1)(2n1)/3，其中2n为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=132333…n3……………………………………………………….(1)有S=n3(n-1)3(n-2)3…13……………………………………………...(2)由(1)(2)得：2S=n313(n-1)323(n-2)333…n313=(n1)(n2-n1)(n1)[(n-1)2-2(n-1)22)(n1)[(n-2)2-3(n-2)32)...(n1)(12-n(n-n1)(n-n1n2)即2S=(n1)[2(122232…n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n(n-n1)]………………...(3)由122232…n2=n(n1)(2n1)/6代入(2)得：2S=(n1)[2n(n1)(2n1)/6-n-2n-3n-…nn2×13×2…n(n-1)]=(n1)[2n(n1)(2n1)/6-n(123…n)(11)×1(21)×2…(n-11)(n-1)]=(n1)[2n(n1)(2n1)/6-n2(1n)/2121222…(n-1)2(n-1)]=(n1)[2n(n1)(2n1)/6-n2(1n)/21222…(n-1)212…(n-1)]……...(4)由1222…(n-1)2=n(n1)(2n1)/6-n2，12…(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：2S=(n1)[3n(n1)(2n1)/6-n2n(n-1)/2=n2(n1)2/2即S=132333…n3=n2(n1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n1)2/4，其中n为自然数。自然数偶数立方和公式推导设S=234363…(2n)3有S=23(132333…n3)=8n2(n1)2/4=2n2(n1)2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n1)2，其中2n为最后一位自然偶数。自然数奇数立方和公式推导设S=132333…(2n)3由自然数的立方和公式为n2(n1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n1)2=234363…(2n)3133353…(2n-1)3=2n2(n1)2133353…(2n-1)3移项得：133353…(2n-1)3=n2(2n1)2-2n2(n1)2=n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。

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