1 引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用.人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究.一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法.而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便.2 定义及引理本节主要介绍本文用到的定义及引理.定义2.1[2] 设D⊂Rn，如果D中的任意两点的连线也在D内，则称D为Rn中的凸集.即对任意P1,P2，数λ∈(0,1)，总有λP1(1−λ)P2∈D.定义2.2[1]设D⊂Rn为非空凸集,f为定义在D上的函数,若对任意P1,P2∈D,λ∈(0,1)，总有f(λP1(1−λ)P2)≤λf(P1)(1−λ)f(P2)， (1)则称f为D上的凸函数.反之，如果总有f(λP1(1−λ)P2)≥λf(P1)(1−λ)f(P2)， (2)则f为D上的凹函数.若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.定义2.3[2] f(P)是定义在D⊂Rn上的多元函数，若在点P0(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)存在对所有自变量的偏导数，则称向量(fx1(P0),fx2(P0),⋅⋅⋅,fxn(P0))为函数f(P)在点P0的梯度，记作∇f(P0)=gradf(P0)=(fx1(P0),fx2(P0),⋅⋅⋅,fxn(P0)).定义2.4[2] f(P)是定义在D⊂Rn上的多元函数，且在点P0(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)具有二阶连续偏导数，记Hf(P0)=⎝⎜⎜⎜⎛fx1x1(P0)fx2x1(P0)⋅⋅⋅fxnx1(P0)fx1x2(P0)fx2x2(P0)⋅⋅⋅fxnx2(P0)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅fx1xn(P0)fx2xn(P0)⋅⋅⋅fxnxn(P0)⎠⎟⎟⎟⎞它称为f(P)在P0的黑赛矩阵.引理2.1[1](泰勒定理)若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)上存在(n1)阶导函数，则对任意给定得x,x0∈[a,b]，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(x)=f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2⋅⋅⋅n!f(n)(x0)(x−x0)n(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1.3已有结果定理3.1[1] f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1
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