基础_知识讲解_空间向量及其线性运算(理)126(1)

空间向量及其线性运算【学习目标】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB或a。（要注意印刷体用a，而手写体为a，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB或||a3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0。规定：0与任意向量平行。单位向量：长度为1的空间向量，即||1a.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点诠释：①当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．要点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：abba=结合律：()()abcabc=要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411nnnAAAAAAAAAA-=因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110nnnAAAAAAAAAA-=；要点三、空间向量的数乘运算1.定义：实数λ与空间向量a的乘积aλ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＞0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=0．λa的长度是a的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(ab)=λaλb；结合律：λ(μa)=(λμ)a．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a的乘积λa（λ∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λa，λ－a无意义．要点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意：0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使baλ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：①a∥b（b≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a=λb；②存在唯一实数λ，使得a=λb（b≠0），则a∥b．注意:b≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）② 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。要点五、共面定理1．共面向量的定义．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意：空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（,xy），使pxayb=．推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB=或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB=，上式叫做平面MAB的向量表达式．3.共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1、已知在平行六面体''''ABCDABCD-中，设CDa=，CBb=，'CCc=，试用向量a、b、c来表示向量CA、'CA。【思路点拨】要想用a、b、c表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。【解析】在平行六面体''''ABCDABCD-中，四边形ABCD是平行四边形，CACBCD===baab。又因为四边形''ACCA为平行四边形，∴'''CACACCCBCDCC===abc。【总结升华】运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行四边形法则以及向量加法的交换律、结合律等，运用数形结合的数学思想解题。举一反三：【变式1】（2015春武汉校级期中改编）空间四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AD的中点，试用向量BA，CD表示向量EF。【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】1()2BACD【解析】∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴EFOFOE=-，1()2OFOAOD=，1()2OEOBOC=。∴11()()22EFOAODOBOC=-1()2BACD=【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱AB=b，AC=c，AD=d，Q为△BCD的重心，M为BC的中点，试用b、c、d表示向量DM、AQ。【答案】∵M为BC的中点，∴11()[()()]22DMDBDC==--bdcd1(2)2=-bcd23AQADDQDM==d11(2)()33=-=dbcdbcd。例2、如图，已知长方体''''ABCDABCD-，化简下列向量表达式：（1）'AACB-；（2）111'222ADABAA-。【思路点拨】化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。【解析】（1）''''AACBAABCAAADAD-===；（2）111111''222222ADABAAADABAA-=11(')'22ADABAAAC==。【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。举一反三：【高清课堂：空间向量及其线性运算399109例题1】【变式1】已知平行六面体1111ABCDABCD-，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）1ABADAA；（2）1DDABBC-；【答案】(1)11ABADAAAC=(2)11DDABBCBD-=【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则MGABAD-等于（）A．32DBB．3MGC．3GMD．2MG【答案】B；()MGABADMGABADMGDB-=--=-23MGBDMGMGMG===例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：1()3OGOAOBOC=.【思路点拨】先在ΔOBC中考虑中线OD，然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点，分成的比是2：1，两次使用向量的运算性质，把相关向量用,,OAOBOC表示即可.【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心∴2AGGD=，D为BC的中点∴22()33OGOAAGADOAODOAOA===-21[()]321()3OBOCOAOAOAOBOC=-=【总结升华】(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有1OD(OBOC)2=举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'ACABADAC=。【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ACABAD=，''ABABAA=，''ADADAA=，∴''ACABAD()(')(')ABADABAAADAA=2(')ABADAA=又由于''AACC=，ADBC=，∴''ABADAAABBCCC=''ACCCAC==∴''2'ACABADAC=。【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：1()2EFABDC=。【答案】EFEAABBF=①EFEDDCCF=②①②得2()()EFEAABBFEDDCCFABDC==。∴1()2EFABDC=。类型二：共线向量定理的应用例4．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且23CFCB=，23CGCD=．求证：四边形EFGH是梯形．【解析】∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴12AEAB=，12AHAD=，1111()2222EHAHAEADABADABBD=-=-=-=113333()()222244CDCBCGCFCGCFFG⎛⎫=-=-=-=⎪⎝⎭，∴//EFFG且3||||||4EHFGFG=≠，又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；举一反三：【变式1】设1e、2e是平面上不共线的向量，已知122ABk=ee，123CB=ee，122CD=-ee，若A、B、D三点共线，求k的值。【答案】由共线的向量定理列出关系式。∵121212(2)(3)4BDCDCB=-=--=-eeeeee，122ABk=ee。又∵A、B、D三点共线，由共线向量定理，得142k=-，∴8k=-。【变式2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。用向量法证明BD∥平面EFGH；【答案】∵EHAHAE=-1122ADAB=-11()22ADABBD=-=∴EH∥BD又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH。类型三：共面向量及应用例5．已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC=，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？【思路点拨】利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．【解析】由题意：522OPOAOBOC=，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP-=--，∴22APPBPC=，即22PAPBPC=--，所以，点P与,,ABC共面．【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．举一反三：【变式1】（2015秋隆化县校级期中）设向量{,,}abc是空间一个基底，则一定可以与向量pab=，qab=-构成空间的另一个基底的向量是（）A．aB．bC．cD．a或b【思路点拨】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论。【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合()()2pqababa=-=，得a与p、q是共面向量，同理b与p、q是共面向量，所以a与b不能与p、q构成空间的一个基底；又c与a和b不共面，所以c与p、q构成空间的一个基底。故选C。【变式2】已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFKOBOGkOCOHkOD====，（1）求证：四点,,,EFGH共面；（2）平面AC//平面EG．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD=，∵EGOGOE=-，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH=⋅-⋅=-===--=--=∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB=-=-=⋅，又∵EGkAC=⋅，∴//,//EFABEGAC所以，平面//AC平面EG．例6.V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，13VPVC=，23VMVB=，23VNVD=。求证：VA∥平面PMN。【解析】设VA=a，VB=b，VC=c，则VD=-acb。由题意，知21213333PMVBVC=-=-bc，2122133333PNVDVC=-=-abc。∴3322VAPMPN=。∴VA∥平面PMN。又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN。【总结升华】（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．举一反三：【高清课堂：空间向量及其线性运算399109例题1】【变式1】已知斜三棱柱111ABCABC-，设ABa=，ACb=，1AAc=.在面对角线1AC和棱BC上分别取点M和N，1AMkAC=,BNkBC=（01k≤≤）.求证：MN与向量a，c共面.【答案】1AMkAC=，∴1()MAkACkbc=-=-()()(1)MNMAABBNkbcakbakakc==--=--∴MN与向量a，c共面.【变式2】如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且13BMBD=，13ANAE=．求证：MN∥平面CDE．【答案】如题图，因为M在BD上，且13BMBD=，所以111333MBBDDAAB==．同理1133ANADDE=．所以MNMBBAAN=11113333DAABBAADDE⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭21213333BADECDDE==．又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．