第一讲简便算法(1)

例1．计算6329437546     例2、673288   例3．计算718-162-238   9898203    786-109例4．185-（8517）  29631-196  521-136-221 例6．88-（47-12）376-（176-97）347（153-129）268(317-168)对口练527439173261 236568077635319 98697136-107 2748-993 8709-1473-295-527-391-105-409761299-561 437-(37186) 351-(88151) 74-(35-16)669(231-176) 326(187-126) 326(187-126)516-56-44-43-575723-(723-189)576-(276-211)7564782346-(356178)-146 9999999999我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。1.乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即a×b=b×a。其中，a，b为任意数。　例如，35×120=120×35=4200。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即 a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。 注意：(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例1计算下列各 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。解：(2)125×19×8=(125×8)×19=1000×19=19000；(3)125×72=125×(8×9)=(125×8)×9=1000×9=9000；(4)25×125×16或=25×125×2×8=(25×2)×(125×8)=50×1000=50000，25×125×16=25×125×4×4=(25×4)×(125×4)=100×500=50000乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即(ab)×c=a×cb×c， (a-b)×c=a×c-b×c。例2计算下列各题：(1)125×(408)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：(1)125×(408)=125×40125×8=50001000=6000；(2)(100-4)×25=100×25-4×25=2500-100=2400；(3)2004×25=(20004)×25=2000×254×25=50000100=50100；(4)125×792=125×(800-8)=125×800-125×8=(125×8)×100-1000=1000×100-1000=1000×(100-1)=99000。2.除法的运算律和性质商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即 a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)  =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3计算：(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25=(425×4)÷(25×4)=1700÷100=17；(2)3640÷70=(3640÷10)÷(70÷10)=364÷7=52。(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即(a±b)÷c=a÷c±b÷c。　例如，(84)÷2=8÷24÷2，  (9-6)÷3=9÷3-6÷3。 此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如(1000-688-136)÷8=1000÷8-688÷8-136÷8=125-86-17=22。(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即a÷b÷c=a÷c÷b。在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……例4计算下列各题：(1)(182325)÷13；(2)(2046-1059-735)÷3；(3)775÷25；(4)2275÷13÷5。解：(1)(182＋325)÷13=182÷13325÷13=1425=39；(2)(2046-1059-735)÷3=2046÷3-1059÷3-735÷3=682-353-245=84；(3)775÷25=(70075)÷25=700÷2575÷25=283=31；(4)2275÷13÷5=2275÷5÷13=455÷13=35。3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如， a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即a×(b×c)=a×b×c， a×(b÷c)=a×b÷c。括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即a÷(b×c)=a÷b÷c，　a÷(b÷c)=a÷b×c。添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即a×b×c=a×(b×c)， a×b÷c=a×(b÷c)，a÷b÷c=a÷(b×c)， a÷b×c=a÷(b÷c)。(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)。 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。例5计算下列各题：(1)136×5÷8=136÷8×5=17×5=85；(2)4032÷(8×9)=4032÷8÷9=504÷9=56；(3)125×(16÷10)=125×16÷10=256×4(4)2560÷(10÷4)=2560÷10×4＝1024；(5)2460÷5÷2=2460÷(5×2)=2460÷10=246；(6)527×15÷5=527×(15÷5)=527×3=1581；(7)(54×24)÷(9×4)=(54÷9)×(24÷4)=6×6=36。乘法中的巧算上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。1.乘11，101，1001的速算法一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a×11=a×(10＋1)=10a＋a， a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。 例如，38×101=38×100＋38=3838。2.乘9，99，999的速算法一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a×9=a×(10-1)=10a-a， a×99=a×(100-1)=100a-a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如，18×99=18×100-18=1782。上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。例1计算：(1)356×1001＝356×(1000＋1)＝356×1000＋356＝356000＋356＝356356；(2)38×102＝38×(100＋2)＝38×100＋38×2＝3800＋76＝3876；(3)526×99＝526×(100-1)＝526×100-526＝52600-526＝52074；(4)1234×9998＝1234×(10000-2)＝1234×10000-1234×2＝12340000-2468＝12337532。3.乘5，25，125的速算法一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到 例如，76×25＝7600÷4＝1900。上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。例2计算：(1)186×5=186×(5×2)÷2=1860÷2=930；(2)96×125=96×(125×8)÷8=96000÷8=12000。有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。例3计算：(1)84×75=(21×4)×(25×3)=(21×3)×(4×25)=63×100=6300；(2)56×625=(7×8)×(125×5)=(7×5)×(8×125)=35×1000=35000；(3)33×125=(321)×125=32×1251×125=4000125=4125；(4)39×75=(40-1)×75=40×75-1×75=3000-75=2925。4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如： 仿此同学们自己算算下面的乘积35×35＝______ 55×55＝______ 65×65＝______85×85＝______95×95＝______这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位 数相乘的计算，例如，例1．（1）25×5×64×125     （2）75×16例2．125×(108) （20-4）×25 4004×25 125×798例3．146×31÷73×75 1248÷96×24 1000÷（125÷4）例4．（1）625÷25          （2）58500÷900例5．（350165）÷5      （702-213-414）÷3对口练：1．184×17184×83    2．9815×981049×9813．496×837-796×637   4．248×68-17×248248×485．304×28608   6．（125×99125）×167．25×64×125      8．301×4679．（3666）×（172÷4）14 .1111111111×999999999911.56000÷（14000÷16）  12.45000÷(25×90)13.37500÷4÷25   14.9600÷25  15.125×91÷25       16.871×364÷182   17.204×312÷197÷312×197÷204