直线与圆的位置关系简答30道

第3章《直线与圆、圆与圆的位置关系》常考题集(08):3.1直线与圆的位置关系解答题(2005?宿迁)已知：如图，ZABC中，AC=BC，以BC为直径的OO交AB于点D,过点D作DEAAC于点E,交BC的延长线于点F.求证：AD=BD;DF是OO的切线.(2005?马尾区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的OO'交x轴于D点，过点D作DF1AE于点F.求OA、OC的长；求证：DF为OO'的切线；小明在解答本题时，发现△KOE是等腰三角形.由此，他断定：直线BC上一定存在除点E以外的点P,使ZAOP也是等腰三角形，且点P一定在OO'外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.(2005?黄冈)如图，已知OO的弦AB垂直于直径CD，垂足为F,点E在AB上，且EA=EC.2求证：AC=AE?AB;)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE，试判断PB与OO的位置关系，并说明理由.(2005?甘肃)如图，AO是虫BC的中线，OO与AB边相切于点D.要使OO与AC边也相切，应增加条件(任写一个)；增加条件后，请你说明OO与AC边相切的理由.(2004?万州区)如图，以Rt△KBC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；如果AD,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；试在(1)(2)的基础上，提出一个有价值的问题(不必解答)O(2004?日照)如图，AB是OO的直径，点P在BA的延长线上，弦CD_1AB于点E,ZPOC=zPCE.求证：PC是OO的切线；若OE:EA=1:2,PA=6，求OO的半径；(2003?山东)如图，割线ABC与OO相交于B、C两点，D为OO上一点,DE交AC于G,ZADG=zAGD.(1)求证：AD是OO的切线；E为弧BC的中点，OE交BC于F,(2002?甘肃)如图，AB是OO的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在OO上，/CAB=30°求证：DC是OO的切线.如图（1）,ZABC=90°O为射线BC上一点，0B=4，以点0为圆心，丄BO长为半径作OO交BC于点2（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与OO相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与OO相交于M、N两点（如图（2））,MN=2血，求亦的长.D为圆（2001?上海）如图，在Rt△KBC中，/B=90°ZA的平分线交BC于D,E为AB上一点，DE=DC，以心，以DB的长为半径画圆.求证：（1）AC是OD的切线；（2003?福州）已知：三角形ABC内接于OO,过点A作直线EF.（1）如图1,AB为直径，要使得EF是OO的切线，还需添加的条件是？（只须写出三种情况）（2）如图2,AB为非直径的弦，/CAE=ZB，求证：EF是OO的切线.BC已知：如图，在△XBC中，ZBAC=120°AB=AC,BC=4佃，以A为圆心，2为半径作OA，试问:与OA的关系如何？并证明你的结论.224.如图，在ZABC中，/C=90°AD是ZBAC的平分线,O是AB上一点，以OA为半径的GO经过点D.(1)求证：BC是GO切线;225.如图，直角坐标系中，A(-2,0),B(8,0)，以AB为直径作半GP交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD.直接写出C、M两点的坐标.连CM，试判断直线CM是否与OP相切？说明你的理由.在x轴上是否存在一点Q,使ZQMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由.2CA7KB-2OPSX226.(2011?陵县一模)在RtZABC中，直角边AB为直径的半圆0,与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE,DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况.2若AC、AB的长是方程x-10x+24=0的根，求直角边BC的长.BD是OO的切线.如图，已知在Rt△KBC中,ZC=90°AD是ZBAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作OO.在图中作出OO;(不写作法，保留作图痕迹)求证：BC为OO的切线.(2010?本溪一模)如图，已知AB、AC分别为OO的直径和弦，D为弧BC的中点，DE1AC于E.(1)求证：DE是OO的切线.(2010?鄞州区模拟)如图，已知AB是OO的直径，直线CD经过OO上一点C,ADdDC,AC平分/DAB.求证：直线CD为OO的切线；若AD=2,AC=:，求AB的长.(2002?南宁)如图，BC是OO的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E.求证：AC是OO的切线；若AD:DB=3:2,AC=15，求OO的直径.(2009?西城区一模)已知：如图，AB为OO的弦，过点0作AB的平行线，交OO于点C,直线0C上一点D满足ZD=ZACB.判断直线BD与OO的位置关系，并证明你的结论；若OO的半径等于4,tan/ACB=•，求CD的长.(2011?无锡一模)如图，已知AB为GO的弦，C为GO上一点，/C=/BAD，且BD1AB于B.求证：AD是GO的切线；若OO的半径为3,AB=4，求AD的长.(2009?兰州)如图，在以0为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心0,且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分ZACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；若AB=8cm,BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留n)(2003?甘肃)如图，AB是OO直径，CB是OO的切线，切点为B,OC平行于弦AD.求证：DC是GO的切线.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的OO与BC相切于点M.求证：CD与GO相切.若正方形ABCD的边长为1,求OO的半径.DC如图，AB是GO的直径，CD切GO于E,ACJCD于C,BDJCD于D，交GO于F，连接AE、EF.求证：AE是ZBAC的平分线；若/ABD=60°则AB与EF是否平行？请说明理由.(2006?曲靖)如图，从GO外一点A作GO的切线AB、AC,切点分别为B、C,且OO直径BD=6，连接CD、AO.求证：CD/AO;设CD=x,AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；若AO+CD=11，求AB的长.(2006?长沙)如图，A,B,D,E四点在GO上,AE,BD的延长线相交于点C,直径AE为8,OC=12,左DC=ZBAO./八卡、工CDCB求证：——;ACCB计算CD?CB的值，并指出CB的取值范围.2(2009?厦门)如图，已知AB是GO的直径，点C在GO上，P是ZOAC的重心，且OP=：,4=30度.求劣弧「'的长;(2)若ZABD=120°BD=1，求证：CD是GO的切线.D第3章《直线与圆、圆与圆的位置关系》常考题集(08):3.1直线与圆的位置关系参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析解答题(2005?宿迁)已知：如图，ZABC中，AC=BC，以BC为直径的GO交AB于点D,过点D作DE1AC于点E,交BC的延长线于点F.求证：考点：切线的判定；圆周角定理.专题：证明题.分析：AD=BD;由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD1AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD1AB，由此可证得.连接OD，再证明ODJDE即可.解答：证明：（1）连接CD,••BC为GO的直径，••CDJAB.••AC=BC,••AD=BD.（2）连接0D;••AD=BD,OB=OC,••OD是组CA的中位线,••OD/AC.•-DE1AC,••DFJOD.••OD为半径，••DF是GO的切线.点评：本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点•要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.(2005?马尾区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的OO'交x轴于D点，过点D作DFAAE于点F.求OA、OC的长；求证：DF为OO'的切线；小明在解答本题时，发现△KOE是等腰三角形.由此，他断定：直线BC上一定存在除点E以外的点P,使ZAOP也是等腰三角形，且点P一定在OO'外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.:切线的判定；一元二次方程的应用；等腰三角形的判定；矩形的性质.:代数几何综合题；压轴题.在矩形OABC中，利用边长之间的关系和面积公式即可求得OC,OA的长；连接O'D，通过证明SCEQABE得到DFJO'D，所以DF为OO'切线；分两种情况进行分析：①当AO=AP;②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，既存在OO'内的点P,又存在OO'外的点P2、P3、P4,它们分别使△KOP为等腰三角形.解：在矩形OABC中，设OC=x，贝UOA=x+2.'x(x+2)=15•'x1=3,X2=-5収2=-5(不合题意，舍去)•'OC=3,OA=5；(2)证明：连接O'D；fCO=AB••在矩形OABC中，“5CE=BE=-tL也^ZABE(SAS),••EA=EO,•••/l=z2；••在GO'中，O'O=O'D,•'•/1=Z3,--z3=z2,••O'DME;••DF1AE,••DFJO'D,••点D在GO'上，O'D为GO'的半径,••DF为GO'切线；解：不同意.理由如下：当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作PlHJOA于点H,P1H=OC=3;••AP|=OA=5,••AH=4,••OH=l,求得点Pi(1,3)同理可得：P4(9,3)(7分)；当OA=OP时，同上可求得P2(4,3),P3(-4,3),(9分)••在直线BC上，除了E点外，既存在GO'内的点Pi，又存在OO'外的点P2、P3、P4,它们分别使岔OP为等腰三角形.(10分)主要考查了矩形的性质和圆中的有关性质，等腰三角形的判定以及一元二次方程在几何图形中的运用•要熟练掌握这些性质才能灵活运用.(2005?黄冈)如图，已知OO的弦AB垂直于直径CD，垂足为F,点E在AB上，且EA=EC.2求证：AC=AE?AB;)延长EC到点P,连接PB,若PB=PE，试判断PB与GO的位置关系，并说明理由.考点：切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质.专题：证明题；探究型.分析：o(1)要求证：AC=AE?AB，只要证明△\ECdACB即可；(2)判断PB为GO的切线，只要证明PBJOB即可.解答：(1)证明：连接BC,••ABJCD,CD为GO的直径，••BC=AC.•••/1=z2.又・・AE=CE,■'■A=ZB.•••ZAEC刊CB.•AC_AE2即AC=AB?AE.(4分)(2)解：PB与GO相切.理由如下：连接OB,••PB=PE,•••zPBE=ZPEB.•.•/=Z=23,•••zPEB=Z1+Z3=22.•••zPBE=Z2+ZPBC，/-zPBC=z2,•••zOBC=Z)CB.•••zOBP=2OBC+ZPBC=2OCB+々=90°•'PBJOB.即PB为GO的切线.(10分)点评：证明线段的乘积相等的问题一般可以转化为三角形相似问题，证明切线的问题，可以转化为证明切线是垂直于半径，并且经过半径的外端点.214.(2005?甘肃)如图，AO是虫BC的中线，OO与AB边相切于点D.要使OO与AC边也相切，应增加条件(任写一个)；增加条件后，请你说明OO与AC边相切的理由.考点：切线的判定；等腰三角形的性质.专题：开放型.分析：(1)要使OO与AC边也相切，则应满足AOJBC,结合已知OB=OC，所以只要符合等腰三角形的三线合一即可；根据所添加的条件，利用等腰三角形的三线合一即可证明.解答:解：AB=AC(或ZB=C或AO平分ZBAC或AOJBC).(2)证明：过O作OE1AC于E,连OD;••AB切GO于D,•'ODJAB.••AB=AC,AO是BC边上中线，：OA平分/BAC,又TODJAB于D,OE1AC于E,••OE=OD,••AC是GO的切线.(2004?万州区)如图，以Rt△KBC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；如果AD,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；试在(1)(2)的基础上，提出一个有价值的问题(不必解答):切线的判定；解一元二次方程-因式分解法；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.:压轴题.连接OD,BD，根据图形中角与角之间的关系易得/EDO=90°故ODIDE,DE与半圆O相切；求解方程可得AD,AB的长，同时易得Rt岔BDMRt△KCB，即AB2=AD?AC，根据勾股定理可得BC的长；根据题意，提出问题即可，如求四边形ABED的面积，符合题意即可.解：(1)DE与半圆O相切.证明：连接OD,BD,••AB是半圆O的直径,•••zBDA=zBDC=90°••在Rt△BDC中，E是BC边上的中点,••DE=BE=BC，得ZEBD=zBDE.2••OB=OD,•••zOBD=zODB.又•ZABC=zOBD+ZEBD=90°•••zODB+zEDB=90°故DE与半圆O相切.(2)：BD_1AC,••Rt^XBDMRt念CB.•「2即AB=AD?AC.••AC=.AD••AD,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,••解方程得xi=4,x2=6.••ADvAB,•'AD=4,AB=6.••AC==一=9.AD4又••在RtZABC中，AB=6,AC=9,••BC=——=3".问题1:求四边形ABED的面积；问题2:求两个弓形的面积；问题3:求,-：二的值.点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.(2004?日照)如图，AB是GO的直径，点P在BA的延长线上，弦CD_1AB于点E,ZPOC=zPCE.求证：PC是GO的切线；若OE:EA=1:2,PA=6，求GO的半径；考点：切线的判定.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：要证PC是GO的切线，只要证/PCO=90。即可；相似三角形的性质及勾股定理求出GO的半径；求出CE的长，BE的长，BC的长，切线的性质知/PCA=zB，求出Sin/B，即为所求.解答：(1)证明：••弦CD1AB于点E,•••zCEP=90°•••zPOC=zPCE,ZP=zP,•••ZPOC^PCE,•••zPCO=zCEP=90°••PC是GO的切线.(2)解：TOE:EA=1:2,••OE:OC=_,OC:OP=_33••PA=6,•GO的半径=3.解：连接BC;••圆的半径为3,OE:EA=1:2,••OE=1,••EC=2二BE=4;•，BC=2.•-•zPCA=ZB,•'sin/B=sinzPCA==丄_2Ve3考点：切线的判定.专题：计算题；证明题.分析：点评：本题综合考查了相似三角形的性质，勾股定理及切线的判定•要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.(2003?山东)如图，割线ABC与GO相交于B、C两点，D为GO上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F,DE交AC于G,ZADG=Z\GD.(1)求证：AD是GO的切线；AD=4,EG=2，求GO的半径.要证AD是GO的切线，只要连接OD，再证/ADO=90。即可；作OHJED于H，证明AD=DG=GA，得出/EOH=60°运用三角函数求出GO的半径.解答：（1）证明：连接0D.••E为BC的中点，•-OE1BC于F.•••zAGD+zODE=左GF+zOED=90°（2分）贝UOD=OE,•••zODE=zOED.（3分）•••zAGD=zADG,•••zADG+zODE=90°即OD1AD,••AD是GO的切线.（5分）（2）解：・.2=4,AB=2,AD2=AB?AC;••AC=8.（6分）••AD=AG,••BG=2,CG=4.••EG=2,EG?GD=BG?CG,••DG=4,（7分）••AD=DG=AG.•••zADG=60°作OHJED于H，则/EOH=6O°在RtH>EH中，EH=丄（EG+GD）=3.2••OE=——=2逅.sinGO即GO的半径为2荷.（8分）点评：本题考查了切线的判定•要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.218.（2002?甘肃）如图，AB是GO的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在GO上，/CAB=30°求证：DC是GO的切线.专题：证明题；压轴题.考点：切线的判定.分析：要证DC是GO的切线，只要连接OC,再证ZDCO=90。即可.解答：证明：连接OC、BC,••AB是GO的直径，•••zACB=90°••2CAB=30°•••zABC=60°••OB=OC,•••△)BC为等边三角形，••BC=OB=BD,△BCD为等腰三角形，/CBD=120•••zBCD=30°•••zOCD=QCB+ZBCD=90°••DC是GO的切线.点评:，再证本题考查了切线的判定•要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径）垂直即可.如图（1）,ZABC=90°O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，丄BO长为半径作GO交BC于点D、E.（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与GO相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与GO相交于M、N两点（如图（2））,MN=，求亦的长.1)^](2)考点：切线的判定；弧长的计算.专题：压轴题.分析：（1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与GO相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是/A'BC的度数•然后利用图形来计算•从图中可看出，OG=OB的一半，所以角PBG=30°所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与GO相切；（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算解答：解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60或120°时与GO相切（1分）理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA'的位置，则/A'BO=30°过O作OGJBA'垂足为G••OG=丄OB=2（3分）2••BA'是GO的切线（4分）同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA〃的位置时BA〃也是GO的切线.（6分）••og=3ob2•••ZA'BO=30°•BA绕点B按顺时针方向旋转了60°同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA〃的位置时，BA与GO相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120°(2)TMN=..二22•'MN=OM•3ON=90,OM=ON=2:2+ON(7分)°(8分)•■啲长为一—=nRDECo8CISO点评：本题综合考查了切线的判定和弧长公式的综合运用.（2001?上海）如图，在Rt△KBC中，/B=90°ZA的平分线交BC于D,E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆.求证：（1）AC是CD的切线；C考点：切线的判定；直角三角形全等的判定.专题：证明题.分析：解答:（1）过点D作DF1AC于F,求出BD=DF等于半径，得出AC是CD的切线.（2）先证明ZBDE湮FCD（HL）,根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC.证明：（1）过点D作DF1AC于F;（1分）••AB为CD的切线，AD平分ZBAC,••BD=DF,（3分）••AC为CD的切线.（4分）(2)TAC为CD的切线，••JDFC=ZB=90°在RtZBDE和RtZFCD中；••BD=DF,DE=DC,••RtZBDE细tZFCD(HL),(6分)••EB=FC.（8分）••AB=AF,••AB+EB=AF+FC,即AB+EB=AC.（10分）点评：本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断,全等三角形的对应边相等.（2003?福州）已知：三角形ABC内接于OO,过点A作直线EF.（1）如图1,AB为直径，要使得EF是OO的切线，还需添加的条件是？（只须写出三种情况）（2）如图2,AB为非直径的弦，/CAE=zB，求证：EF是OO的切线.（1）⑵考点：切线的判定.专题：证明题；开放型.分析：（1）要使得EF是OO的切线，只需有EF1AB即可；因此添加的条件能够得出EF1AB即可.（2）连接AO并延长AO交OO于H,连接HC;根据角与角的相等及互余关系，可得HAJEF;故EF是OO的切线.解答：（1）解：①ZCAE=zB,ABJFE,BAC+zCAE=90°（或ZBAC与/CAE互余），C=zFAB,EAB=zFAB,任选三个即可.（2分）（6分）（2）证明：连接AO并延长AO交OO于H，连接HC;•••zH=zB,（7分）••AH是直径，•••zACH=90°,•••zB=zCAE,•••zCAE+zHAC=90°（9分）••HAJEF.••OA是OO的半径，••EF是OO的切线.（10分）（2）点评:本题考查的是切线的判定与应用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.已知：如图，在△KBC中，/BAC=120°AB=AC,BC=4佃，以A为圆心，2为半径作OA，试问：直线BC与GA的关系如何？并证明你的结论.考点：切线的判定.专题：综合题.分析：作ADJBC垂足为D，根据已知，利用勾股定理求得AD的长，将AD的长与半径2作比较；进而由（当AD>2时，相交；当AD=2时，相切；当ADV2时，相离），从而确定直线BC与OX的关系.解答：解：作ADJBC垂足为D;••AB=AC，/BAC=120°•••zB=JC=30°••BC=4』5,.•BD=」BC=2V5,2可得AD=2;又TOX半径为2,•••OA与BC相切.224.(1)点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系：若直线到圆心的距离为d,圆的半径为r，当d>r时，相离；当d=r时，相切；当dvr时，相交.如图，在ZABC中，/C=90°AD是ZBAC的平分线，0是AB上一点，以0A为半径的OO经过点D.求证：BC是00切线；求AC的长.考点：切线的判定.专题：几何综合题.分析：(1)要证BC是GO的切线，只要连接OD，再证ODJBC即可.(2)过点D作DE1AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明少DEGBAC，根据相似三角形的性质得出AC的长.解答：(1)证明：连接OD;••AD是ZBAC的平分线，•••/l=Z3.(1分)••OA=OD,•••/l=z2.•'•z2=z3.•PD//AC.(2分)•••zODB=zACB=90°••ODJBC.••BC是GO切线.(3分)(2)解：过点D作DE1AB,••AD是ZBAC的平分线，••CD=DE=3.在RtZBDE中，/BED=90°由勾股定理得:EE二_DE2二＜52_护二4,(4分)•••zBED=ZACB=90°ZB=zB,•••ZBDENBAC.(5分)•BEDE我盂..4色••AC=6.（6分）BDBD点评：本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质.225.如图，直角坐标系中，A(-2,0),B(8,0)，以AB为直径作半GP交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD.直接写出C、M两点的坐标.连CM，试判断直线CM是否与OP相切？说明你的理由.在x轴上是否存在一点Q,使ZQMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由.cDA7KB%-2OpsX考点：切线的判定；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；轴对称-最短路线问题.专题：代数几何综合题.分析：因为ABCD为正方形，且边长为10,所以易得C点坐标；连接PM，根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标.根据CM、PM、PC的长判定ZPCM为直角二角形，得/PMC-90°从而判断相切.或证^PCM遂PCB得证.因CM长度固定，要使ZQMC周长最小，只需PM+PC最小.作M关于x轴的对称点M'，连接CM',交x轴于Q点，根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点.解答：解：(1)TA(-2,0),B(8,0),••AB=10.••四边形ABCD为正方形，••BC=AB=10,••C(8,10).连MP,PC;在RtA)PM中，0P=3,MP=5,••0M=4，即M(0,4).CM与GP相切.理由：Rt△:BP中，CB=10,BP=5,2•■CP=125.△:EM中，EM=6,CE=8,2「CM=100.••100+25=125,222•'•ZCMP中，CM+MP=CP,•••zCMP=90°即:PMJCM.••CM与GP相切.AQMC中，CM恒等于10,要使ZQMC周长最小，即要使MQ+QC最小.故作M关于x轴对称点M'连CM'交x轴于点Q,连MQ，此时，ZQMC周长最小.••C(8,10),M'(0,-4),设直线CM':y=kx+b(k用)b=-4=>b=-4•—-.••Q(—,0)•7••x轴垂直平分MM'••QM=QM',••MQ+QC=M'Q+QC=M'C•△:EM'中，CE=8,EM'=14•..=•••△QMC周长最小值为，=■I••存在符合题意的点Q,且一|此时AQMC周长最小值为：=、IDECD\EC此题考查了坐标系内求点的坐标、切线的判定、禾U用作图求最小值等知识点，综合性很强，难度较大.226.（2011?陵县一模）在RtZABC中，直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE,DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况.若AC、AB的长是方程x2-10x+24=0的根，求直角边BC的长.考点：切线的判定；解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质.专题：代数几何综合题.分析：①相切.连接OD,证明ODIDE即可.连接OE,则OE/AC，可证ZBOE=JDOE，根据SAS判定ZBOE堂DOE,得ZODE=ZB=90°得证.②解方程可得AC、AB的长，运用勾股定理求BC.解答：解：（1）DE与半圆O相切.证明：连接OD、OE.••O、E分别是BA、BC的中点，••OE//AC,•••zBOE=zBAC，/EOD=/ADO,••OA=OD,•••zADO=zBAC.•••zBOE=zEOD.••OD=OB,OE=OE,••QBE丸DE.•••zODE=zOBE=9O°•'DE与半圆O相切.2(2)TAC,AB的长是方程x-10x+24=0的两个根,2••解方程x-10x+24=0得：X〔=4,X2=6.••ABvAC,•'AB=4,AC=6,••BC=」：-抠=丫'「一=/：汁—,=2-点评：此题考查了相似三角形的判定和性质的应用、切线的判定、解一元二次方程、勾股定理等知识点，综合性较强.O,交GO于点A、C,ZBAD=zB=30°边BD交圆于点D,求证：BD是GO的切线.考点：切线的判定.专题：证明题.因为D在圆上，所以证/BDO=90。即可.分析：解答：证明：•ZBAD=30°OA=OD,•••zADO=zBAD=30°•••zBOD=60°在ZBOD中，/B=30°ZBOD=60°•••zBDO=90°••BD是GO的切线.点评：掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线.如图，已知在RtZ\BC中，/C=90°AD是ZBAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作GO.(1)在图中作出GO;(不写作法，保留作图痕迹)(2)求证：BC为GO的切线.考点：切线的判定.专题：作图题.分析：(1)作图思路：可做AD的垂直平分线，这条垂直平分线与AB的交点就是所求圆的圆心，这个圆心和A点或D点的距离就是圆的半径.，再证垂直即可.本题中(2)要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)可先连接0D再证明ODJBC即可.解答：解：(1)如图；(2)连接OD;••AD平分ZBAC,•'•zBAD=zDAC;又••OD=OA,•••zODA=zOAD,•••zODA=zdac,••OD/AC,•••zODC=zC=90°••BC为GO的切线.点评：本题考查了学生的运用基本作图的知识作复杂图的能力，以及切线的判定等知识点•本题中作图的理论依据是垂径定理.(2010?本溪一模)如图，已知AB、AC分别为GO的直径和弦，D为弧BC的中点，DE1AC于E.求证：DE是GO的切线.若OB=5,BC=6，求CE的长.考点：切线的判定.专题：几何综合题.分析：(1)要证明DE是GO的切线只要证明ODJDE即可；(2)由已知利用勾股定理可求得OF的长，从而求得DF的长，由于四边形DECF是矩形那么CE的值就得到了.解答：(1)证明：连接0D交BC于F;••D为弧BC的中点，••ODJBC,••AB为直径，•••zACB=90°又・.DE_1AC,•••zCED=zECF=ZCFD=9O°•••/FDE=90°即ODJDE;又TOD为GO的半径，••DE是GO的切线.(2)解：TODdBC,BC=6,••BF=CF=3,在Rt^OBF中，OB=5,BF=3,••OF=4,••DF=OD-OF=1;又••四边形DECF是矩形，••CE=DF=1.230.(2010?鄞州区模拟)如图，已知AB是GO的直径，直线CD经过GO上一点C,ADdDC,AC平分/DAB.(1)求证：直线CD为GO的切线;考点：切线的判定.专题：计算题；证明题.分析：要证DC是GO的切线，只要连接OC,求证/OCD=90。即可；求AB的长，可以先证明△KCD〜dABC，得出比例关系.解答：证明：(1)连OC.••ADJDC,•••zADC=90°••AC平分/DAB,•SAC=zCAB.又OC=OA,•••zCAB=zACO,•'•zDAC=zACO,••OC/AD.•••zOCD=180°-zADC=90°.又OC是GO的半径，••CD是GO的切线.（4分）（2）解：连接BC;••AB是GO的直径，•••zACB=90°又ZADC=90°•••zADC=Z\CB=90°由（1）可知ZDAC=zCAB,•ZACD朋BC.•而ad=2二ABAC•匚.■，故AB的长为■'.（8分）点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径）证垂直即可•同时考查了相似三角形的判定和性质.，再（2002?南宁）如图，BC是GO的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E.（1）求证：AC是GO的切线；（2）若AD:DB=3:2,AC=15，求GO的直径.考点：切线的判定；切割线定理.专题：几何综合题.分析：(1)要证AC是GO的切线，只要证/BCA=90。即可；(2)切割线定理得出关于AD,AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求GO的直径.解答：(1)证明：连接OD,CD;••切线DE平分AC于E,•••zODE=90°••BC是GO的直径，••在Rt△KDC中DE=CE;••OE=OE,OD=OC,•zWEPCE,•••zACB=90°••AC是GO的切线.(2)解：TAC是GO的切线；••AC?AC=AD?AB=AD?(AD+BD)AD:DB=3:2,••AD=^15,AB=^15,•°BC=5"J•,.点评：本题考查了切线的判定，切割线定理和勾股定理的综合运用.(2009?西城区一模)已知：如图，AB为GO的弦，过点0作AB的平行线，交GO于点C,直线0C上一点D满足ZD=ZACB.判断直线BD与GO的位置关系，并证明你的结论；若OO的半径等于4,tan/\CB=•，求CD的长.考点：切线的判定；解直角三角形.专题：:综合题.分析：应该是相切，连接OB证OBJBD即可•本题的基本思路是通过平行线，弦切角定理，等边对等角，来得出相等的角，然后将这些相等的角进行置换，最终转换到一个三角形中，根据三角形的内角和来求出度数.从而得出/OBD=90。的结论.有了/ACB的正切值也就有了/D的正切值，那么可在直角三角形OBD中，有半径的长，有/D的正切值，可用正弦函数求出OD的长，也就求出了CD的长.解答：解:(1)直线BD与GO相切.证明：如图，连接OB.•••zOCB=zCBD+ZD，/仁JD,•••z2=zCBD,••ABQC,••0=zA,:ZZCBD.••OB=OC,•••zBOC+2Z3=180°•••zBOC=2ZA,•••zA+Z3=90°•••/CBD+z3=90°.•••zOBD=90°••直线BD与GO相切.(2)・.VD=zACB,tanZACB=丄3•anD=2-.3•••zOBD=90°OB=4,tanD=^,3•'sinD^—,OD=—=5.5sinD••CD=OD-OC=1.点评：本题考查的是切线的判定以及解直角三角形，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.233.(2011?无锡一模)如图，已知AB为GO的弦，C为GO上一点，/C=zBAD，且BD1AB于B.求证：AD是GO的切线；若GO的半径为3,AB=4，求AD的长.专题：计算题；证明题.分析：(1)要证明AD是GO的切线只要证明/OAD=90。即可.(2)根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长.考点：切线的判定；圆周角定理.解答：(1)证明：如图，连接AO并延长交GO于点E,连接BEU/ABE=90°•••zEAB+zE=90°•••zE=ZC,ZC=/BAD,•••zEAB+zBAD=90°••AD是GO的切线.(2)解：由(1)可知ZABE=90°直径AE=2AO=6,AB=4,•.•左=Q/BAD,BD_1AB,••cosZBAD=coszE.••厂:5点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的概念，勾股定理，余弦的概念求解.(2009?兰州)如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分ZACB.(1)(2)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；若AB=8cm,BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留n)考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.(3)专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)只要证明0E垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切.利用全等三角形的判定得出RtSAD细18EB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者.根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积.解答：解：(1)BC所在直线与小圆相切.理由如下：过圆心O作OEJBC，垂足为E;••AC是小圆的切线，AB经过圆心0,••0AJAC;又平分ZACB,0EJBC,••0E=0A,••BC所在直线是小圆的切线.AC+AD=BC.理由如下：连接0D.••AC切小圆0于点A,BC切小圆0于点E,••CE=CA;••在RtZOAD与Rt8EB中，(°忙°已,lod=ob••RtSAD织t“)EB(HL),••EB=AD;••BC=CE+EB,••BC=AC+AD.tzBAC=90°AB=8cm,BC=10cm,•'AC=6cm;••BC=AC+AD,•'AD=BC-AC=4cm,••圆环的面积为：S=n(OD)2-n(OA)2=n(OD2-OA2)，222又TOD-OA=AD,•，S=42n=16n(cm2).点评：此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力.（2003?甘肃）如图，AB是GO直径，CB是GO的切线，切点为B,OC平行于弦AD.求证：DC是GO的切线.考点：切线的判定与性质；圆周角定理.专题：证明题.分析：连接OD，只要证明CDJOD即可.解答：证明：连接OD;••OA=OD,•••zA=厶DO.••AD/OC,•••zA=ZBOC,ZADO=zCOD.•••zBOC=zCOD.••OB=OD,OC=OC,^ODC.•••zOBC=zODC，又BC是GO的切线.•••zOBC=90°•••zODC=9O°••DC是GO的切线.点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的GO与BC相切于点M.求证：CD与GO相切.若正方形ABCD的边长为1,求GO的半径.考点：切线的判定与性质；正方形的性质.分析：(1)根据正方形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；_(2)根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到OC是圆的半径的伍倍,从而根据对角线的长列方程求解.解答：证明：(1)连OM，过O作ONJCD于N;•••GO与BC相切，•'OMJBC,••四边形ABCD是正方形，••AC平分/BCD,••OM=ON,••CD与GO相切.解：(2)••四边形ABCD为正方形，••AB=CD=1，/B=90°ZACD=45°••AC=V^，/MOC=/MCO=45°••MC=OM=OA,••OC=“0M5C社逅ON二VIOA；又••AC=OA+OC,••OA+V^OA=V^,•OA=2-血JMC点评：此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定.注意：运用数量关系证明圆的切线的方法.如图，AB是GO的直径，CD切GO于E,ACJCD于C,BDJCD于D，交GO于F，连接AE、EF.求证：AE是ZBAC的平分线；若/ABD=60°则AB与EF是否平行？请说明理由.考点：弦切角定理.专题：几何综合题.分析：(1)连接BE,根据直径所对的圆周角是直角得到/AEB=90°再结合弦切角定理以及等角的余角相等进行证明；(2)首先根据AC/BD，得到ZBAC=120°再根据(1)的结论得到/BAE=60°根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，则/DFE=ZBAE=60°从而根据同位角相等，得到两条直线平行.解答：(1)证明：连接BE;••AB是GO的直径，•••zAEB=90°••CD切圆于E,•••zAEC=ZABE，又ACJCD.•••zCAE=zBAE.即AE是ZBAC的平分线.(2)解：AB/£F.理由如下：••ACJCD于C,BDJCD于D,••AC/BD.•••zBAC=180°-ZB=120°••AE是ZBAC的平分线，•••zBAE=60°•••ZDFE=ZBAE=60°(圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角)，••ZDFE=Z\BF.点评：本题综合考查了圆周角定理、弦切角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定和性质.(2006?曲靖)如图，从OO外一点A作GO的切线AB、AC,切点分别为B、C,且OO直径BD=6，连接CD、AO.求证：CD/AO;设CD=x,AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；若AO+CD=11，求AB的长.切割线定理；平行线的性质；相似三角形的判定与性质.代数几何综合题；压轴题.欲证CD//AO，根据平行线的判断，证明/DCB=ZOEB即可；由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过组DCsOAOB的比例关系式得出；求AB的长，因为AB是OO的切线，可先求OA,OB的长.AO+CD=11结合(2),解方程组并且检验，从而求解.解答:(1)证明：连接BC交OA于E点,••AB、AC是OO的切线，••AB=AC，/仁2.••AE_LBC.•••zOEB=90°••BD是OO的直径，••JDCB=90°•SCB=zOEB.••CD/AO.(2)解:VCD/AO,•'•z3=z4.DB是直径,o••AB是OO的切线,•SCB=zABO=90•••ZBDC朋OB.BD_DCy=1：：•'08=128.连接OB，在^)BC中，OB=AE=4,OC=12,2••故BC的范围是：8匚