PAGE江西省上饶市“山江湖”协作体2020学年高一下学期第一次月考数学试题满分:150分考试时间:120分钟一、选择题(每小题5分,共60分)1.若α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】本题可用特殊值法,令α=-60°,判断180°-α所在位置即可选出答案。【详解】特殊值法,给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α在第三象限.【点睛】本题考查了象限角知识,考查了学生对基础知识的掌握,属于基础题。2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代
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作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积是()A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米【答案】C【解析】试题分析:如图,根据题意可得:,在中,可得:,,,可得:矢,由,可得:弦,所以:弧田面积(弦矢矢)平方米.所以C选项是正确的.考点:扇形面积公式.3.()A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值.【详解】sin210°=sin(180°+30°)+cos60°=﹣sin30°+cos60°.故选:A.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值,是基础的计算题.4.cos(+)=—,<<,sin(-)的值为()A.—B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简已知得,再计算得到,最后化简sin(-)求值得解.【详解】由题得.因为<<所以.故答案为:D【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.在内,使成立的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出正弦函数与余弦函数在上的图象,求出图象交点,利用数形结合可得结果.【详解】画出y=sinx,y=cosx在(0,2π)内的图象,它们的交点横坐标为,由图象可知x的取值范围为.故选B.【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象解三角不等式,以及数形结合思想的应用,属于中档题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.6.函数的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π【答案】B【解析】【分析】对每一个选项利用最小正周期的定义检验即得解.【详解】对于A选项,,所以该选项是错误的;对于B选项,,所以该选项是正确的;对于C选项,,所以2π是函数的周期,但不是最小正周期,所以该选项是错误的;对于D选项,,所以4π是函数的周期,但不是最小正周期,所以该选项是错误的.故答案为:B【点睛】本题主要考查函数的最小正周期,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.在空间直角坐标系O-xyz,点P(1,2,3)关于xOy平面的对称点是()A.(-1,2,3)B.(-1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(1,-2,-3)【答案】C【解析】试题分析:在空间直角坐标系,关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数,所以P关于平面对称点是(1,2,-3),故选择C考点:空间直角坐标系点的对称8.过点A(3,5)作圆O:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为()A.5x+12y+45=0或x-3=0B.5x-12y+45=0C.5x+12y+45=0D.5x-12y+45=0或x-3=0【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为(1,2),半径为2.再对直线的斜率分类讨论,利用直线和圆相切求出直线的方程得解.【详解】由题得圆O的方程为:,所以圆心为(1,2),半径为2.当直线没有斜率时,直线方程为x=3,满足题意.当直线存在斜率时,设直线方程为,所以,解之得k=,此时直线方程为5x-12y+45=0.故答案为:D【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.若,则=A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意:,据此可得:.本题选择A选项.10.过点、且圆心在直线上的圆的方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上,∴可设圆的圆心M(a,2﹣a),根据圆过点A(1,﹣1),B(﹣1,1),可得(1﹣a)2+(﹣1﹣2+a)2=(﹣1﹣a)2+(1﹣2+a)2,解得a=1,故圆的圆心为(1,1),半径等于MA=2,故圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.故选:D11.若函数的大致图像是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先去绝对值,化为分段函数,再根据余弦函数的单调性,得出答案.【详解】,在,为减函数,在,为增函数,并且函数值都大于等于0,只有符合,故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的图象,以及余弦函数的图象,关键是化为分段函数,去绝对值,属于基础题.12.把曲线先沿轴向右平移个单位,再沿轴向下平移1个单位,得到的曲线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析:本题主要考查三角函数图象平移.先把曲线变形为:.即曲线变形为:;函数沿轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,解析式为:;解析式化简为:.故选C.考点:三角函数图象平移.二、填空题(每空5分,共20分)13.的最大值为,最小值为,则________【答案】2【解析】【分析】函数,确定是奇函数,即可得到结论.【详解】函数令,则,函数是奇函数,其最大值与最小值的和为0,函数的最大值为,最小值为,故答案为:2【点睛】本题考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,确定是奇函数是解题的关键.14.方程实根的个数为____________【答案】6【解析】【分析】令,,在同一坐标系中作出两个函数的图象,由图可知,两个函数的交点个数,从而知方程实根的个数.【详解】令,,在同一坐标系中作出两个函数的图象,由图可知,与有六个交点,所以,方程实根的个数为6个,故答案为:6【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查函数的奇偶性与作图、识图能力,属于中档题.15.若⊙与⊙相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是。【答案】4【解析】依题意得OO1==5,且△OO1A是直角三角形,S△OO1A=··OO1=·OA·AO1,因此AB==4.16.若角A是三角形ABC的内角,且tanA=-,则sinA+cosA=______。【答案】【解析】【分析】先根据tanA=-求出sinA和cosA的值,即得sinA+cosA的值.【详解】由题得.故答案为:【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题(本大题6小题,共70分)17.(1)化简:(2)求值:【答案】(1),(2)【解析】试题分析:(1)由诱导公式法则:“奇变偶不变,符号看象限”对原式化简.即:,,,,,;(2)由诱导公式一:同角的同名三角函数值相等,对原式化简.试题解析:(1)(2)原式考点:诱导公式和基本运算.18.已知角θ的终边经过点P(a,﹣2),且cosθ=﹣.(1)求sinθ,tanθ的值;(2)求的值.【答案】(1)-;;(2).【解析】【分析】(1)先根据已知确定θ为第三象限的角,再利用同角三角函数的关系求sinθ,tanθ的值.(2)先利用诱导公式化简原式,再代入得解.【详解】(1)因为且过P(a,﹣2),∴θ为第三象限的角,∴,所以(2)【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系和三角函数在各象限的符合,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.求所给函数的值域(1)(2),【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)化简为,再利用二次函数的图像分析得解函数的值域;(2)化简为,再利用三角函数的图像和性质结合不等式求出函数的值域.【详解】(1)1)即的值域为(2),因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以y的值域为【点睛】本题主要考察三角函数的图像和性质,考察二次函数的图像和性质,考察函数值域的求法,意在考察学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知,且有意义.(I)试判断角所在的象限;(II)若角的终边上一点是,且(为坐标原点),求的值及的值.【答案】(I)角是第四象限角;(II).【解析】【分析】(1)由,可得,再由有意义可得,由此可得所在的象限;(2)由角的终边与单位圆相交于点及为第四象限角可得的值,再由三角函数的定义求得的正弦函数值.【详解】(1)∵,∴.①∵有意义,∴.②由①②得角的终边在第四象限.(2)∵点在单位圆上,∴,解得.又是第四象限角,∴,∴.由三角函数定义知,.【点睛】本题主要考查三角函数的象限符号,考查三角函数的定义,是基础题.21.已知函数,.(1)当时,求的最大值和最小值;(2)若在上是单调函数,且,求的取值范围.【答案】(1)有最小值为,有最大值为;(2).【解析】试题分析:(1)当时,在上单调递减,在上单调递增当时,函数有最小值当时,函数有最小值(2)要使在上是单调函数,则或即或,又解得:考点:本题考查了一元二次函数的值域及三角函数不等式点评:对于一元二次函数的最值问题,往往利用其单调性处理,对于三角函数不等式,往往利用图象法求解22.已知圆经过点,,且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)过点的直线与圆交于两点,问在直线上是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(x-3)2+(y-2)2=13(2)在直线上存在定点N(),使得【解析】试题分析:(1)由题意得到直线AB的方程,直线AB与直线的交点即圆心,从而得到圆的方程;(2)假设存在点N(t,2)符合题意,,设直线AB方程为,与圆的方程联立利用韦达定理表示即可得到t值.试题解析:解(1)法一:直线AB的斜率为-1,所以AB的垂直平分线m的斜率为1AB的中点坐标为(),因此直线m的方程为x-y-1=0又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程租,得圆心坐标为C(3,2),又半径r=,所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2由题意得解得a=3,b=2,r=所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13(2)假设存在点N(t,2)符合题意,①当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为联立方程组,消去y,得到方程则由根与系数的关系得+因为所以所以+解得t=,即N点坐标为()②当直线AB斜率不存在时,点N显然满足题意.综上,在直线上存在定点N(),使得