§6.1　数列的概念及其表示

第六章　数　列　数列的概念(gàiniàn)及其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示高考(ɡāokǎo)文数(课标Ⅱ专用)第一页，共30页。考点二　数列(shùliè)的通项与递推关系(2014课标Ⅱ,16,5分,0.358)数列(shùliè){an}满足an+1= ,a8=2,则a1=　　　    .答案     五年高考A组统一(tǒngyī)命题·课标卷题组第二页，共30页。解析　解法一:由an+1= ,得an=1- ,∵a8=2,∴a7=1- = ,a6=1- =-1,a5=1- =2,……,∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7= .解法二:由于(yóuyú)an≠0,an≠1,所以an+1= = = =1- =1- =an-2(n≥3),则an+3=an(n≥1),所以{an}是以3为周期的数列,所以a8=a2= =2,可求得a1= .第三页，共30页。考点一　数列(shùliè)的项an与前n项和Sn1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列(shùliè){an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5{bn}满足b1=1,数列(shùliè){(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列(shùliè){bn}的通项公式.B组自主(zìzhǔ)命题·省（区、市）卷题组第四页，共30页。解析　本题主要考查等差数列、等比数列(děnɡbǐshùliè)、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8 =20,解得q=2或q= ,因为q>1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn.由cn= 解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)· ,第五页，共30页。故bn-bn-1=(4n-5)· ,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)· +(4n-9)· +…+7· +3.设Tn=3+7· +11· +…+(4n-5)· ,n≥2, Tn=3· +7· +…+(4n-9)· +(4n-5)· ,所以(suǒyǐ) Tn=3+4· +4· +…+4· -(4n-5)· ,因此Tn=14-(4n+3)· ,n≥2,又b1=1,所以(suǒyǐ)bn=15-(4n+3)· .第六页，共30页。易错警示　利用错位相减法求和时,要注意以下几点:(1)错位相减法求和,只适合于数列{anbn},其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.(2)在等式两边所乘的数是等比数列{bn}的公比.(3)两式相减时,一定要错开(cuòkāi)一位.(4)相减后等比数列的次数.(5)进行检验.第七页，共30页。2.(2014江西,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn= ,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :对任意的n>1,都存在m∈N*,使得(shǐde)a1,an,am成等比数列.解析　(1)由Sn= ,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.(2)证明(zhèngmíng):要使a1,an,am成等比数列,只需要 =a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且m>n,所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.第八页，共30页。考点一　数列的项an与前n项和Sn(2013课标Ⅰ,14,5分,0.660)若数列{an}的前n项和Sn= an+ ,则{an}的通项公式(gōngshì)是an=　　　    .答案　(-2)n-1C组教师(jiàoshī)专用题组解析(jiěxī)　由Sn= an+ 得当n≥2时,Sn-1= an-1+ ,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=1时,S1=a1= a1+ ,a1=1,∴an=(-2)n-1.第九页，共30页。考点二　数列的通项与递推关系(2012课标全国,12,5分)数列{an}满足(mǎnzú)an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为 (　　)A.3690　    B.3660　    C.1845　    D.1830答案    D　当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)= =30×61=1830.第十页，共30页。考点(kǎodiǎn)一　数列的项an与前n项和Sn1.(2018内蒙古包头一模)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,an+1=2Sn+3,n∈N*,则S4=　　　    .三年模拟A组2016—2018年高考(ɡāokǎo)模拟·基础题组答案(dáàn)　66解析　由已知条件及an+1=Sn+1-Sn,得Sn+1-Sn=2Sn+3,所以Sn+1=3Sn+3,又S2=6,所以S3=3S2+3=3×6+3=21,则S4=3S3+3=3×21+3=66.第十一页，共30页。2.(2017重庆(zhònɡqìnɡ)八中适应性月考(七))设数列{an}的前n项和是Sn,满足n(Sn+1+Sn-1-2Sn)=2+an(n≥2),a1=1,a2=2,则当n≥2时,Sn=　　　    .答案(dáàn)    n2-n+1解析　因为(yīnwèi)an+1=Sn+1-Sn,an=Sn-Sn-1(n≥2),所以已知等式可化简为n(an+1-an)=2+an(n≥2),即 - = =2 (n≥2),所以 - =2 , - =2 ,…, - =2 ,累加得 - =2 (n≥2),即an=2n-2(n≥2),则当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=1+ =n2-n+1.第十二页，共30页。3.(2017重庆(zhònɡqìnɡ)第一次诊断模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(n∈N*),若不等式λSn>an恒成立,则实数λ的取值范围是　　　    .答案(dáàn)    λ>1解析(jiěxī)    Sn+1=an+2-an+1,则Sn+1+1=an+3-an+2,将以上两式相减可得an+3=2an+2,则从第3项起,数列{an}成等比数列且公比q=2,又a1=1,a2=2,a3=S1+1+a2=4,∴a2=2a1,a3=2a2,an=2n-1(n∈N*),∴Sn=2n-1,则不等式λSn>an可化为λ> ,而 ≤1,则λ>1.第十三页，共30页。4.(2017辽宁鞍山一中模拟(节选))已知数列(shùliè){an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3(n∈N*).求数列(shùliè){an}的通项公式.解析　由Sn=2an-3①,得a1=3,Sn-1=2an-1-3(n≥2)②,①-②得an=2an-2an-1(n≥2,n∈N*),即an=2an-1(n≥2,n∈N*),所以数列{an}是以3为首项,2为公比(ɡōnɡbǐ)的等比数列,所以an=3·2n-1(n∈N*).第十四页，共30页。考点(kǎodiǎn)二　数列的通项与递推关系1.(2018海南二模)已知正项数列{an}满足 -2 -an+1an=0,设bn=log2 ,则数列{bn}的前n项和为 (　　)A.n　    B. 　    C. 　    D. 答案(dáàn)    C　由 -2 -an+1an=0,可得(an+1+an)(an+1-2an)=0,又an>0,∴ =2,∴an+1=a1·2n,∴bn=log2 =log22n=n,∴数列{bn}的前n项和为 ,故选C.第十五页，共30页。2.(2018陕西榆林二中七模)正整数数列(shùliè){an}满足an+1= 已知a7=2,{an}的前7项和的最大值为S,把a1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列(shùliè){bn},{bn}所有项和为T,则S-T= (　　)答案(dáàn)    C　∵a7=2,∴a6=4,a5=8或1,(1)当a5=8时,a4=16,a3=32或5,①若a3=32,则a2=64,a1=128或21,②若a3=5,则a2=10,a1=20或3;(2)当a5=1时,a4=2,a3=4,a2=8或1,①若a2=8,则a1=16,②若a2=1,则a1=2.所以S=2+4+8+16+32+64+128=254,T=128+21+20+3+16+2=190,所以S-T=64,故选C.第十六页，共30页。3.(2017宁夏银川二模)我们把满足:xn+1=xn- 的数列(shùliè){xnf(x)=x2-1,数列(shùliè){xn}为牛顿数列(shùliè),设an=ln ,已知a1=2,则a3=　　　    .答案(dáàn)　8解析　由f(x)=x2-1,得f'(x)=2x,则xn+1=xn- = ,所以xn+1-1= ,xn+1+1= ,所以 = ,所以ln =ln =2ln ,即an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比(ɡōnɡbǐ)为2的等比数列,则a3=2×22=8.第十七页，共30页。4.(2017东北三省三校三模)方程f(x)=x的解称为函数f(x)的不动点,若f(x)= 有唯一不动点,且数列(shùliè){an}满足a1=1, =f ,则a2017=　　　    .答案(dáàn)　2017解析(jiěxī)　由题意可知 =x,即x2-(a-1)x=0有唯一解,则a-1=0,即a=1,则f(x)= ,由 =f ,得 = ,∴an+1=an+1,则an+1-an=1,∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴a2017=2017.第十八页，共30页。B组    2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:40分钟　　分值:60分)一、选择题(共5分)1.(2017陕西西安西北工大附中七模)已知函数(hánshù)y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立,若数列{an}满足f(an+1)f =1(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是 (　　)A.f(a2013)>f(a2016)　    B.f(a2014)>f(a2017)C.f(a2016)f(a2015)第十九页，共30页。答案(dáàn)    D    f(x)f(y)=f(x+y)⇒f(0)f(0)=f(0)⇒f(0)=1或f(0)=0.当f(0)=0时,f(x)=0,与x<0时,f(x)>1矛盾,因此f(0)=1.则f(x)f(y)=f(x+y)⇒f(x)f(-x)=f(0)=1⇒当x>0时,0x2,则f(x2-x1)>1,则f(x1)f(x2-x1)=f(x2)⇒f(x2)>f(x1),因此y=f(x)为单调减函数,从而f(an+1)f =1=f(0)⇒an+1+ =0⇒an+2=- ,an+3=an,则f(a2013)=f(a2016),f(a2014)=f(a2017),f(a2016)=f(a3)=f(-2)>f =f(a2)=f(a2015),f(a2013)=f(a3)=f(-2)>f =f(a2)=f(a2015),选D.第二十页，共30页。二、填空题(每题5分,共40分)2.(2018甘肃第一次诊断(zhěnduàn))已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则a4=　　　    .答案(dáàn)     解析(jiěxī)　数列{an}中,a1=1,an+1= ,∴a2= ,a3= ,a4= .第二十一页，共30页。3.(2018宁夏吴忠联考)若数列(shùliè){an}是正项数列(shùliè),且 + +…+ =n2+3n(n∈N*),则 + +…+ =　　　    .答案(dáàn)　2n2+6n解析　∵数列{an}是正项(zhènɡxiànɡ)数列,且 + +…+ =n2+3n(n∈N*),①∴n≥2时, + +…+ =(n-1)2+3n-3,②①-②可得 =2n+2(n≥2),可得an=4(n+1)2(n≥2),经验证:a1=16满足上式,∴an=4(n+1)2(n∈N*),则 =4(n+1),∴ + +…+ =4[2+3+4+…+(n+1)]=4× =2n2+6n.第二十二页，共30页。4.(2018吉林长春十一(Shí－Yī)高中、东北师大附中等五校联考)已知数列{an}满足  =3n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　    .答案(dáàn)     解析(jiěxī)　当n=1时, =31+1=9,即a1=9.当n≥2时, 两式相减得 =3n+1+1-3n+1=2·3n+1,∴an+1=2n+1·3n+1=6n+1,即an=6n,当n=1时,不适合,故an= 第二十三页，共30页。5.(2017黑龙江哈尔滨六中一模)设Tn为数列(shùliè){an}的前n项之积,即Tn=a1a2a3…an-1an,若a1=2, - =1,当Tn=11时,n的值为　　　    答案(dáàn)　10解析　由题设知数列 是首项(shǒuxiànɡ)为 = =1,公差为1的等差数列,则 =1+n-1=n,即an= +1= ,所以a1a2…an= · · ·…· =n+1,令n+1=11,解得n=10.第二十四页，共30页。6.(2017重庆4月调研测试(cèshì)(二诊))已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2n=n-an,a2n+1=an+1,则S100=　　　    .(用数字作答)答案(dáàn)　1306解析(jiěxī)　由题设可得a2n+a2n+1=n+1,取n=1,2,3,…,49可得a2+a3=2,a4+a5=3,a6+a7=4,…,a98+a99=50,将以上49个等式两边分别相加可得a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+a98+a99= ×49=1274.又a3=a1+1=2,a6=3-a3=1,a12=6-a6=5,a25=a12+1=6,a50=25-a25=19,a100=50-a50=31,所以S100=1+1274+31=1306.第二十五页，共30页。7.(2017甘肃天水一中第三次诊断(zhěnduàn))已知数列{an}的前n项和为Sn,若an+1+(-1)nan=n,则S40=　　        .答案(dáàn)　420解析(jiěxī)　由an+1+(-1)nan=n可得当n=2k时,有a2k+1+a2k=2k,①当n=2k-1时,有a2k-a2k-1=2k-1,②当n=2k+1时,有a2k+2-a2k+1=2k+1,③①-②得a2k+1+a2k-1=1,①+③得a2k+2+a2k=4k+1,∴a2k-1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2.∴S40=4×(1+3+…+19)+20=420.第二十六页，共30页。8.(2017辽宁锦州质量检测(jiǎncè)(二))已知数列{an}各项均为正数,a1= ,对任意的n∈N*,有an+1=an+  ,若an>1,则n的最小值为　　　    .答案(dáàn)　2018解析　∵an+1=an+  ,a1= ,∴an+1>an>0.∴ = - ,∴ + +…+ = - + - +…+ - =2- ,∴2- < .当n=2016时,2- < <1,得a2017<1.当n=2017时,2- > >1,得a2018>1.因此存在(cúnzài)n,使得an>1,且n的最小值为2018.第二十七页，共30页。9.(2017新疆乌鲁木齐三模)已知定义(dìngyì)在R上的奇函数f(x)满足f =f(x),f(-2)=-3,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n,则f(a5)+f(a6)=　　　    .答案(dáàn)　3解析(jiěxī)　由题意知f(-x)=-f(x),又∵f =f(x),∴f =-f(-x).∴f(3+x)=f =-f =-[-f(x)]=f(x).∴f(x)是以3为周期的周期函数.由题意知a1=-1,∵Sn=2an+n,∴Sn-1=2an-1+n-1(n≥2),两式相减整理得an-1=2(an-1-1)(n≥2),则{an-1}是以2为公比的等比数列,∴an-1=(a1-1)×2n-1,∴an=-2n+1,∴a5=-31,a6=-63.∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3.第二十八页，共30页。三、解答题(共15分)10.(2018重庆4月调研(二诊)节选(jiéxuǎn))已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn= (n+2)an.求an.解析　由题意(tíyì)得3Sn=(n+2)an,∴3Sn-1=(n+1)an-1(n≥2),两式相减得3an=(n+2)an-(n+1)an-1(n≥2),∴ = (n≥2),∴an= · · ·…· · ·a1= × × ×…× × ×2=n(n+1)(n≥2),又a1=2满足上式.∴an=n(n+1)(n∈N*).第二十九页，共30页。内容(nèiróng) 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 第六章　数　列。数列(shùliè){an}满足a1=1, =f ,则a2017=　　　    .。则f(x)= ,由 =f ,得 = ,。答案    D    f(x)f(y)=f(x+y)⇒f(0)f(0)=f(0)⇒f(0)=1或f(0)=0.。an= · · ·。∴an= · · ·。· · ·a1= × × ×第三十页，共30页。