梯度、散度和旋度——定义及公式1哈密顿算子（HamiltionOperator）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。三维坐标系下，有∇=∂x∂i∂y∂j∂z∂k或者∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)其中i,j,k分别为xyz方向上的单位矢量。2梯度（Gradient）2.1梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于
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excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
f的结果（f可以是标量和向量）。gradf=∇f=∂x∂fi∂y∂fj∂z∂fk=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。2.2梯度的性质∇c=0∇(RS)=∇R∇S∇(SR)=S21(S∇R−R∇S),S=0∇[f(S)]=f′(S)∇S其中，C为常数，R、S为两个标量场，f为一连续可微函数。3散度（Divergence）散度是哈密顿算子与矢量函数f点积的结果，是一个标量。设矢量函数f=fxifyjfzk=(fx,fy,fz)则散度表示为：divf=∇•f=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)•(fx,fy,fz)=∂x∂fx∂y∂fy∂z∂fz散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当divf>0，该点有散发通量的正源（发散源）；当divf<0，该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当divf=0，该点无源。4旋度（Curl,Rotation）旋度是哈密顿算子与矢量函数f叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数f=fxifyjfzk=(fx,fy,fz)则旋度：curlf=rotf=∇×f=∣∣∣∣∣∣∣i∂x∂fxj∂y∂fyk∂z∂fz∣∣∣∣∣∣∣=(∂y∂fz−∂z∂fy)i(∂z∂fx−∂x∂fz)j(∂x∂fy−∂y∂fx)k旋度是矢量
分析
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中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。该向量提供了向量场在这一点的旋转性质。小提示：通量是单位时间内通过某个曲面的量，散度是通量的强度。环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量，旋度是环流量强度。5拉普拉斯算子（LaplaceOperator）拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的二阶微分算子，定义为梯度（∇f）的散度（∇∙f）。拉普拉斯算子定义为：∇2f=∇•∇f即：∇2f=∇•∇f=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)•(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=∂x2∂2f∂y2∂2f∂z2∂2f6重要的公式6.1算符的对易性函数S(x,y,z,t)满足必要的连续性条件时：∂x∂(∂t∂S)=∂x∂t∂2S=∂t∂(∂x∂S)=∂t∂x∂2S∂t∂∇−∇∂t∂=0∂t∂∇2−∇2∂t∂=06.2梯度、散度和旋度的混合运算rot(gradS)=∇×(∇S)=0（标量场S的梯度没有旋转变换）div(rotA)=∇•(∇×A)=0（向量场A的旋度没有胀缩变化）∇2S=div(gradS)=∇•(∇S)∇×(∇×A)=∇(∇•A)−∇2A∇2A=∇(∇•A)−∇×(∇×A)=∇φ−∇×ψ（向量分解恒等式）其中，φ=∇•A（无源场，有散场，标量场）ψ=∇×A（有旋场，向量场）
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