3.三个正数的算术-几何平均不等式1.三个正数的算术-几何平均不等式(1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)定理3:如果a,b,c∈R+,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.(3)三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.名师点拨1.不等式成立的条件:2.不等式的变形及其应用:做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( ) A.a1+a2+a3≥2B.a1+a2+a3≥6答案：B2.n个正数的算术-几何平均不等式对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对于任意的实数x,y,z,都有x3+y3+z3≥3xyz.( )×××√探究一探究二探究三思维辨析运用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【例1】求解下列各题:(1)若0
0,且xy2=4,求x+2y的最小值.
分析
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：(1)应构造和为定值的形式;(2)应构造积为定值的形式;(3)应构造积为定值的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的方法与技巧1.利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,可简记为“积定和最小,和定积最大”.2.应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,仍然要满足三个条件,即“一正、二定、三相等”.其中定值条件决定着三个正数的算术-几何平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.3.拼凑定值是利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的关键,求代数式的和或者积的最值时,题目中的定值条件往往无法满足,此时可以将三个正数的算术-几何平均不等式的取等号的条件作为出发点,拼凑定和(或积),从而求得积(或和)的最大(或小)值.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 (1)若x>0,则2x+的最小值为 . (2)函数y=2cos2x·sin4x的最大值等于 . 探究一探究二探究三思维辨析运用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式 【例2】(1)已知a,b,c∈R+,分析：(1)欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+),故将所证不等式的左边进行恰当的变形;(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以不但要用一次三个正数的算术-几何平均不等式,而且还要用一次基本不等式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟证明不等式的方法与技巧观察式子的结构特点,分析题目中的条件,若具备“一正、二定、三相等”的条件,则直接应用该定理.若题目中不具备该条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用该定理证明.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 (1)已知x,y,z>0,求证(x+y+z)3≥27xyz. 探究一探究二探究三思维辨析运用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题 【例3】制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,若使
材料
关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料
成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少?分析：首先用底面半径和高表示出圆柱形桶的材料成本,其次由容积得到底面半径和高的关系,然后将圆柱形桶的材料成本表示为半径的函数,最后用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,并确定等号成立的条件.探究一探究二探究三思维辨析解：设此圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为πr2平方米,侧面积为2πrh平方米.设材料成本为y元,则y=30πr2+40πrh.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题的一般步骤1.理解题意,设变量,设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数.2.建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内,利用三个正数的算术-几何平均不等式求出函数的最值.4.验证不等式中等号成立的条件,得出结论.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 在表面积等于18的长方体中,求其体积的最大值. 解：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V=abc,其表面积为S=2ab+2bc+2ca=18.由三个正数的算术-几何平均不等式得探究一探究二探究三思维辨析误用三个正数的算术-几何平均不等式而致错纠错心得错解中虽然对代数式进行了变形与分解,也构造了定值,但等号成立的条件无法满足,因此所求最值是错误的.在利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值时,三个条件缺一不可.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 若x>0,求y=x(1-x2)的最大值. 123451.下列结论正确的是( )解析：当a,b,c∈R时,a2,b2,c2≥0,由三个正数的算术-几何平均不等a2=b2=c2时,等号成立),故选项C正确.答案：C12345答案：B123453.若a>0,b>0,且a+2b=1,则ab2的最大值等于( )答案：A123454.若长方体的体积为8,则其表面积的最小值等于 . 解析：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则依题意有abc=8.而长方体的表面积当且仅当a=b=c=2时,等号成立,即长方体的表面积的最小值为24.答案：2412345解：甲先到达B地,理由如下.设A,B两地间的距离为s(s>0),甲从A到B所用的时间为t1,乙从A到B所用的时间为t2,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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