简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解教具准备：与
教材
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和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：；；；2.法则1 ．法则2,法则3二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．2.求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得，从而有对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.当Δu≠0时，由.且.∴即(当Δu＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴；⑵；⑶；⑷．解：⑴函数由函数和复合而成；⑵函数由函数和复合而成；⑶函数由函数和复合而成；⑷函数由函数、和复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴，； ⑵，．解：⑴；⑵．例3求的导数．解：设，，则 ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu;u=x2∴=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的导数.分析:设u=sin(2x+)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+∴=y′u(u′v·v′x)∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即y′x=2sin(4x+)例6求的导数.解：令y=，u=ax2+bx+c∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即y′x=例7求y=的导数.解：令∴=()′u·()′x即y′x=－例8求y=sin2的导数.解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x=2u·cosv·=2sin·cos·=－·sin∴y′x=－sin例9求函数y=(2x2－3)的导数.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.解：令y=uv，u=2x2－3，v=,令v=，ω=1+x2=(1+x2)′x=∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x=(2x2－3)′x·+(2x2－3)·=4x即y′x=四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x－3∴=(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3(2)令y=u5，u=2+3x∴=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2－x2∴=(u3)′u·(2－x2)′x=3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x∴=(u2)′u·(2x3+x)′x=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n∈N*)(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)′u·(nx)′x=－sinu·n=－nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)′u·(nx)′x=()′u·n=·n==n·sec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)′u·(nx)′x=()′u·n=·n=－·n=－=－ncsc2nx五、教学反思：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
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