湖南省长郡中学2020届高三数学上学期第一次月考（开学考试）试题 理PAGE长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A．B．C．D．2.已知集合，，，则（）A．B．C．D．3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A．个B．个C．个D．个4.计算的结果为（）A．B．C.D．5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C.D．6.某单位为了落实“绿水青山...
PAGE长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A．B．C．D．2.已知集合，，，则（）A．B．C．D．3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A．个B．个C．个D．个4.计算的结果为（）A．B．C.D．5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C.D．6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A．千瓦·时B．千瓦·时C.千瓦·时D．千瓦·时7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C.D．8.知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）A．B．C.D．9.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（）A．B．C.D．11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）A．B．C.D．12.设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件，则的最大值为．14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则．15.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为．16.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角、、的对边分别是、、，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.19.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.20.已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为尝（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.21.已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相切，求实数的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，解不等式；（2）若在上恒成立，求的取值范围.长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DCCBC6-10:ADDAC11、12：BD二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.【解析】（1）由正弦定理可得：.从而可得：，即又为三角形内角，所以，于是，又为三角形内角，所以.（2）由余弦定理：得：，所以如，所以，面积的最大值为.18.【解析】依题意，以点为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，由为校的中点，得，（1）向量，，故（2）.，.，由点在棱上，设，故，由，得.因此，，即，设为平面的法向量，即,即不妨令，可得为平面的一个法向量，取平面的法向量，则所以二面角的余获值为19.【解析】（1）∵，∴完成年度任务的人数为（2）第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为.第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第组有人，记这人分别为；第组有人，记这人分别为；从这人中随机选取名，所有的基本事件为，，，，，.，，，A.B1，A，B2，AsB，B1B2，B1B1，B.B1，共有个基本事件。获得此奖励的名销售员在同一组的基本事件有个，故所求概率为20.【解析】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为，双曲线的渐近线为：，由点到直线的距离公式有：.（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：，要与相交于两点，则应有：设，则有：，.又.又：，所以有：，，②将，代入，消去并整理得：，要有两交点，则.③由①②③有：设、.有：，.将代入有：.,令,令,.所以在内恒成立，故函数在内单调递增，故.21.【解析】（1），，当时，即时，在上恒成立，所以的单调减区间是，无单调增区间当时，即时，由得.由，得，所以的单调减区间是，单调增区间是（2）由题意，，恒成立，..，，.①时，.（），在上单调递增.∴，，舍去。②时，，（），在上单调递减，∴.，成立③时，(）：∴时.在上单调递增，，舍去。综上，22.【解析】（1）直线的直角坐标系方程是，圆的直角坐标方程是（2）由（1）知圆心为，半径，设图心到直线的距离为，因为直线与圆相切，所以解得23.【解析】（1）当时，不等式.当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为（2），∴，解得或，即的取值范围是
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