江苏省淮安中学高三数学《第06课 数列》基础教案

PAGE第06课：数列一、课前预习1、已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是2、已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于3、在等差数列中，，表示数列的前项和，则4、是等差数列的前项和，若，，则5、在由正数组成的等比数列中,则6、等差数列的公差不为零，若成等比数列，则=7、设等差数列的前n项和为.若，且，则正整数8、已知等差数列的首项，设为的前项和，且，则当取得最大值时，9、已知等比数列满足，且，则当时，10、等差数列的前n项和为，已知，,则11、已知，则下列四个命题：①；②；③；④中为真命题的序号为12、在实数数列中，已知，，，…，，则的最大值为13、设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为14、设，，，，则数列的通项公式=二、例题例1、已知数列是公差大于0的等差数列，,是方程的两根,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.例2、已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?例3、已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．例4、在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，设与抛物线相切于的直线斜率为，求：；⑶设，，等差数列{QUOTE}的任一项，其中是中的最大数，，求{QUOTE}的通项公式。第06课作业：数列班级____________姓名_____________学号__________成绩________课后作业1、在等差数列中，，则▲2、数列中，则通项▲3、已知数列的通项公式为，设为的前项和，则▲4、在等比数列中，，，则公比为▲5、等差数列中，公差，，则=▲6、已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是▲7、设等比数列的公比，前项和为，则▲8、设等差数列的前项和为，若则▲9、设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则▲成等比数列．10、正整数集合的最小元素为1，最大元素为2020，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有▲个.11、数列的通项，其前项和为，则为▲12、已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是▲ReadIf0ThenElseEndIfPrint（第13题）13、右边是根据所输入的值计算值的一个算法程序,若依次取数列中的前200项，则所得值中的最小值为▲14、若函数式表示的各位上的数字之和，如，所以，记，则▲1.__;2.__;3.__;4.__;5.__;6.__;7.__;8.__;9.__;10.__;11.__;12.__;13.__;14.__15、设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.16、设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。17、已知数列的前项和为，，且（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.18、设数的图象上。（1）求的表达式；（2）设使得不等式都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{}依次按1项，2项循环地分为，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为的值；（4）（选做）如果将数列{}依次按1项，2项，3项，…，项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？第06课：数列课前预习1.已知数列的前项和，是等比数列的充要条件是2.已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于83.在等差数列中，，表示数列的前项和，则4.是等差数列的前项和，若，，则5.在由正数组成的等比数列中,则___166.等差数列的公差不为零，.若成等比数列，则2n7.设等差数列的前n项和为.若，且，则正整数48.已知等差数列的首项，设为的前项和，且，则当取得最大值时，9.已知等比数列满足，且，则当时，10.等差数列的前n项和为，已知，,则1011.已知，则下列四个命题：①；②；③；④中为真命题的序号为①②12.在实数数列中，已知，，，…，，则的最大值为13.设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为14.设，，，，则数列的通项公式=2n+1例题讲解例1.,是方程的两根,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.解：(1)由.且得2分,4分在中,令得当时,T=,两式相减得,6分.8分(2),9分,,10分=2=,13分14分例2.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?【解析】（1）,,,.又数列成等比数列，，所以；又公比，所以；又,,；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，当，；()；（2）；由得，满足的最小正整数为112.例3.在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，设与抛物线相切于的直线斜率为，求：；⑶设，，等差数列{QUOTE}的任一项，其中是中的最大数，，求{QUOTE}的通项公式。解:（1）5分（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为．设的方程为把代入上式，得，的方程为：．，=.10分（3），T中最大数．设公差为，则，由此得：16分例4.已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．答案：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，………………………..1分则有,即矛盾.4分所以｛｝不是等比数列.……………………………………………………………………..…1分(Ⅱ)解：因为…………………………………….…3分又，所以当，，此时……………………………………………………1分当时，，，此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列.…………………………1分∴…………………………………………………………………2分(Ⅲ)要使对任意正整数成立，即当为正奇数时，∴的最大值为,的最小值为,……………………………………3分于是，由（1）式得当时，由，不存在实数满足题目要求；…………………1分当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是…………………………………………………………………..…1分课后作业1.在等差数列中，，则32.数列中，则通项3.已知数列的通项公式为，设为的前项和，则4.在等比数列中，，，则公比为5.等差数列中，公差，，则=806.已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是207.设等比数列的公比，前项和为，则8.设等差数列的前项和为，若则99.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．10.正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有___________个.11.数列的通项，其前项和为，则为12.已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是ReadIf0ThenElseEndIfPrint（第13题）13.．右边是根据所输入的值计算值的一个算法程序,若依次取数列中的前200项，则所得值中的最小值为▲114.若函数式表示的各位上的数字之和，如，所以，记，则▲515.设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.解：(Ⅰ)由题意可得：①时,②……………………1分①─②得，……………………3分是首项为，公比为的等比数列，………………4分（Ⅱ）解法一:………………5分若为等差数列，则成等差数列,………………6分得………………8分又时，，显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列.………………9分解法二:………………5分……………7分欲使成等差数列,只须即便可.……………8分故存在实数，使得数列成等差数列.………………9分16.设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由，．．．①　则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，　　　数列是首项为，公差为的等比数列．　　　，17.已知数列的前项和为，，且（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.10.[解]（1），①当时，.②由①-②，得..……3分又，，解得.……4分数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数）.……6分（2）由（1）知，，……8分.……10分由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为.18.设数的图象上。（1）求的表达式；（2）设使得不等式都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{}依次按1项，2项循环地分为，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为的值；（4）（选做）如果将数列{}依次按1项，2项，3项，…，项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？8.解：（1）…………1分（2）设故要使不等式…………10分（3）数列依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组。由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和。由分组规律知，的等差数列。…………13分所以…………14分（4）当n是m的整数倍时，求的值。数列依次按1项、2项、3项，…，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），…，第m组，第2m组，…，第组的第1个数，第2个数，…，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为……16分则第m组、第2m组，…，第km组，…的各数之和也组成一个等差数列，其公差为…………17分第m组的m个数之和为………18分当…………21分