5中心极限定理精讲

第5.2节中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.二、基本定理定理（林德贝格-列维中心极限定理）设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(Xk)??,D(Xk)???0(k?1,2,?),则随机变量之和的??Xk?E??Xk??Xk?n????k?1k?1k?1? 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化变量Yn?nn???D??Xk??k?1?nn2n的分布函数Fn(x)对于任意x满足??X?n??k???k?1?limFn(x)?limP??x?n??n??n???????2tx1?2??edt??(x).??2π林德贝格-列维中心极限定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明:n当n??,随机变量序列Yn的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数.定理(李雅普诺夫定理)李雅普诺夫设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立,它们具有数学期望和方差：E(Xk)??k,D(Xk)??k?0(k?1,2,?),记B???,2n2kk?1n2若存在正数?,使得当n??时,1B2??k?1n?E{|Xk??k|n2??}?0,则随机变量之和的标准化变量nnnn??Xk?E??Xk??Xk???k???k?1k?1k?1k?1Zn??nBn??D??Xk??k?1?的分布函数Fn(x)对于任意x满足limFn(x)?limP{n??n??xXk???k?k?1k?1t2?2nnBn?x}????1edt??(x).2π该定理表明:无论各个随机变量X1,X2,?,Xn,?服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和?Xkk?1n当n很大时,近似地服从正态分布.(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理是林德贝格-列维中心极限定理的特殊情况.定理(德莫佛－拉普拉斯定理)德莫佛拉普拉斯设随机变量?n(n?1,2,?)服从参数为n,p(0?p?1)的二项分布,则对于任意x,恒有x??n?np?1limP??x???edt??(x).??2πn??np(1?p)??n证明根据以往知识可知?n??Xk,k?1t2?2其中X1,X2,?,Xn是相互独立的、服从同一(0－1)分布的随机变量,分布律为P{Xk?i}?p(1?p),i1?ii?0,1.?E(Xk)?p,D(Xk)?p(1?p)(k?1,2,?,n),根据林德贝格-列维中心极限定理得n?X?np?k???n?np??k?1?limP??x??limP?n??n??np(1?p)np(1?p)????t2??x1??e2dt??(x).??2π该定理表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.???x????下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.三、典型例题20个噪声电压Vk例1一加法器同时收到(k?1,2,?20),设它们是相互独立的机随变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布,记V??Vk,k?120求P{V?105}的近似值.解?E(Vk)?5,100D(Vk)?(k?1,2,?,20).12由中心极限定理,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),V?20?5?其中Z?10010020201212V?20?5105?20?5?}?P{V?105}?P{10010020201212V?20?5V?100?P{?0.387}?1?P{?0.387}10010020201212t2?0.3871?1??e2dt?1??(0.387)?0.348.??2πVk?20?5?k?120例2一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3o的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3o的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3o的次数为X,1则X是一个随机变量,且X~b(90000,).3?90000??1??2?分布律为P{X?k}????????k??3??3?k?1,?,90000.所求概率为?90000??1??2?P{29500?X?30500}????????k??3??3?k?29501?30500k90000?kk90000?k直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理P{29500?X?30500}?29500?npX?np30500?np??P????np(1?p)np(1?p)??np(1?p)??30500?npnp(1?p)29500?npnp(1?p)1e2?t2?2dt?30500?np??29500?np??????????np(1?p)??np(1?p)?1?n?90000,p?,3?52??52??P{29500?X?30500}?????????2??2???0.9995.四、小结?林德贝格-列维中心极限定理??三个中心极限定理?李雅普诺夫定理???德莫佛－拉普拉斯定理中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,则X~B(n,p),其中n?10000,p?0.017,由德莫佛－拉普拉斯定理知,保险公司亏本的概率P{10000X?10000?200}?P{X?200}?X?np200?np??P???np(1?p)??np(1?p)?X?np??P??2.321??np(1?p)??1??(2.321)?0.01.例4对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解(1)以Xk(k?1,2,?,400)记第k个学生来参加会议的家长数,Xk则Xk的分布律为pk0120.050.80.15易知E(Xk)?1.1,D(Xk)?0.19,(k?1,2,?,400)而X??Xk,根据林德贝格-列维中心极限定理k?1400随机变量Xk?400?1.1?k?14000.19400X?400?1.1?4000.19近似服从正态分布N(0,1),于是P{X?450}?X?400?1.1450?400?1.1??P???4000.19??4000.19?X?400?1.1??1?P??1.147??4000.19??1??(1.147)?0.1357;(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,则Y~b(400,0.8),P{Y?340}340?400?0.8??Y?400?0.8?P???400?0.8?0.2??400?0.8?0.2?Y?400?0.8???(2.5)?0.9938.?P??2.5??400?0.8?0.2?例5设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立,且Xin在区间(?1,1)上服从均匀分布(i?1,2,?,n),试12证当n充分大时,随机变量Zn??Xi近似服从ni?1正态分布,并指出其分布参数.证记Yi?X,(i?1,2,?,n)1E(Yi)?E(X)?D(Xi)?,32i2iD(Yi)?E(Yi)?[E(Yi)]?E(X)?[E(Yi)]224i211因为E(X)??x?dxi?,?1254i14i41?1?所以D(Yi)?????,5?3?452因为X1,X2,?,Xn相互独立,所以Y1,Y2,?,Yn相互独立.根据林德贝格-列维中心极限定理n?Zn??Xi??Yi2i?1i?1nn?n4n?近似服从正态分布N?,?,?345??14?故Z近似地服从正态分布N?,?.?345n?