2019-2020年高中数学 第二章 平面向量单元综合测试 新人教A版必修4

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。PAGE/NUMPAGES真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。2019-2020年高中数学第二章平面向量单元综合测试新人教A版必修4一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (每小题5分，共60分)1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(　　)A.eq\o(OH,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(FO,\s\up6(→))D.eq\o(EO,\s\up6(→))解析：利用平行四边形法则作出向量eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，平移即可发现eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)). 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：C2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是(　　)A．a·b＝1B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a∥b解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．故选C.答案：C3．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则(　　)A.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B.eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0解析：由eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，可得P是边AC的中点，从而eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.答案：B4．已知O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，则(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(　　)A．4B．2C．－2D．－4解析：由已知得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，则(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1)·(3,1)＝3＋1＝4.答案：A5．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　　)A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为梯形．答案：C6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0,－4－2y＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－2))，故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).答案：B7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：记a与b的夹角是θ，则a·(b－a)＝a·b－a2＝6cosθ－1＝2，cosθ＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).故选C.答案：C8．下列说法中，正确的个数为(　　)(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)若a·b<0，则a与b的夹角是钝角；(3)向量e1＝(2，－3)，e2＝(eq\f(1,2)，－eq\f(3,4))能作为平面内所有向量的一组基底；(4)若a∥b，则a在b上的投影为|a|.A．1B．2C．3D．4解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，(1)正确；当|a|＝|b|＝1且a与b反向时，a·b＝－1<0，但a与b的夹角为180°，因而(2)不正确；由于e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为基底，(3)不正确；若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，所以a在b上的投影为|a|cosθ＝±|a|，(4)不正确．答案：A9．已知a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)A．(eq\f(7,9)，eq\f(7,3))B．(－eq\f(7,3)，－eq\f(7,9))C．(eq\f(7,3)，eq\f(7,9))D．(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，联立解得m＝－eq\f(7,9)，n＝－eq\f(7,3).故c＝(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))．答案：D10．在△ABC中，P是边BC的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形但不是等边三角形解析：如图，由ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，知c(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))－beq\o(PC,\s\up6(→))＝(a－c)eq\o(PA,\s\up6(→))＋(c－b)eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，而向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PC,\s\up6(→))不共线，∴a－c＝c－b＝0，故选A.答案：A11．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．2解析：由向量a，b，c都是单位向量可得a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，可得(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.答案：B12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下列说法错误的是(　　)A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析：根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确；因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不相等，所以B错误；对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m，若牵绳与船前进方向的夹角为eq\f(π,6)，人的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：功W＝60×50×coseq\f(π,6)＝1500eq\r(3)(J)．答案：1500eq\r(3)14．设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析：设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，则a＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)15．(xx·山东卷)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，由于eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB2,\s\up6(→))＋eq\o(AC2,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×(－eq\f(1,2))＝0，解得λ＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)16．(xx·江苏卷)如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))　　eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(2)，则B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)．设F(x,2)(0≤x≤eq\r(2))，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)可得eq\r(2)x＝eq\r(2)，则x＝1，所以F(1,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在边长为1的等边三角形ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→)).(1)用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))作为基底表示向量eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos150°＋eq\f(2,3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos30°＝eq\f(\r(3),2)×1×(－eq\f(\r(3),2))＋eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×1×eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,4).18．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|b|＝2eq\r(5)，且a∥b，求b的坐标．(2)若|c|＝eq\r(10)，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角．解：(1)设b＝(x，y)，由|b|＝2eq\r(5)，a∥b得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20,2x－y＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4))所以b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，又|a|＝eq\r(5)，|c|＝eq\r(10)，解得a·c＝5，所以cosa，c＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(2),2)，a，c∈[0，π]，所以a与c的夹角为eq\f(π,4).19．(12分)如图，平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，H，M是AD，DC的中点，F使BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(HF,\s\up6(→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→)).解：(1)连接AF，由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\o(HA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋(a＋eq\f(1,3)b)＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×(－eq\f(1,2))＝－6，从而eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋b)·(a－eq\f(1,6)b)＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).20．(12分)设a，b是两个不共线的非零向量．(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、eq\f(1,3)(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|，且a与b的夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？解：(1)设a－tb＝m[a－eq\f(1,3)(a＋b)]，m∈R，化简得(eq\f(2,3)m－1)a＝(eq\f(m,3)－t)b.因为a与b不共线，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－1＝0,\f(m,3)－t＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2),t＝\f(1,2)))，即t＝eq\f(1,2)时，a、tb、eq\f(1,3)(a＋b)三个向量的终点在一条直线上．(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|·cos60°＝(1＋t2－t)|a|2，故当t＝eq\f(1,2)时，|a－tb|有最小值eq\f(\r(3),2)|a|.21．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．解：(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(EC,\s\up6(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0,λ＝k－1))，解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).设A(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3－x,5－y)，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7,5－y＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10,y＝7))，即点A的坐标为(10,7)．22．(12分)已知在等边△ABC中，点P为线段AB上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．(1)若等边三角形边长为6，且λ＝eq\f(1,3)，求|eq\o(CP,\s\up6(→))|；(2)若eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．解：(1)当λ＝eq\f(1,3)时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP2,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA2,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AP2,\s\up6(→))，＝62＋2×6×2cos120°＋22＝28，所以|eq\o(CP,\s\up6(→))|＝2eq\r(7).(2)设等边三角形的边长为a，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2＋λa2，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))(eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λa2＋λ2a2，所以－eq\f(1,2)a2＋λa2≥－λa2＋λ2a2，即λ2－2λ＋eq\f(1,2)≤0，解得eq\f(2－\r(2),2)≤λ≤eq\f(2＋\r(2),2).又0≤λ≤1，λ∈[eq\f(2－\r(2),2)，1]．