PAGE江苏省吴江平望中学2020学年高二数学下学期第二次阶段性测试试
题
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理填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把
答案
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填写在答题卡相应位置上．）1.设，是虚数单位，若为纯虚数，则．2.设，则是的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．3.设曲线在点处的切线方程为，则= ．4.若双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为 ．5.已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为__________．6.将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为．7.已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为．8.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：，如果把这个结论推广到空间正四面体，那么正四面体内切球的半径与此正四面体的高的关系是．9．设棱长为的正方体的体积和
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面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，则eq\f(S1,S2)的值为________．10.设,那么.11.的展开式中的常数项为-40，则=______．．12．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）13.在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是．14.已知函数.设是函数的导函数,当时，不等式恒成立，则整数m的最大值为_______.解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分)已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点变换成.（1）求矩阵；（2）若向量，计算.16.(本小题满分14分)如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知,,．（1）求直线与平面所成角的正弦值；(第16题)ABCDFEyxz（2）线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17.(本小题满分14分)某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望。18.（本小题满分16分）长方形鱼池，，现要在长方形一角如图划出一个直角三角形搭建一个钓鱼台，（点M，N分别在线段AB，AD上），已知直角三角形AMN的周长为．设的面积为．（1）求关于的函数关系式；（2）试确定点M的位置，使得钓鱼台的面积最大，并求出的最大值．（第18题图）19.(本小题满分16分)已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设点A,B是椭圆C上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB；求证：存在一个定圆，使得直线AB始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程；20.(本小题满分16分)已知数列的各项均为正数，(n∈N＋)，为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间，并比较与的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；平望中学2020－2020学年五月份月考参考答案高二数学（理科）1.-12.充分不必要3.34.45.6.7.8.9．eq\f(3\r(2),π)10.(或)11.-112.6013.14.415．【解析】（1），则，，解得，，，,所以（2）矩阵的特征多项式为，从而求得对应的一个特征向量分别为.令所以.16.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以．（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，所以，，．设平面的法向量，则，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．（2）假设线段上是否存在点满足题意，设，则，所以．设平面的法向量，则，即，令，则．设二面角的平面角为，则解得或．即17.解：(1)记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为.(2)随机变量的所有可能取值有．因为，，，0123P所以18．(1)解：设，则，整理，得．（2)当时，，在递增，故当时，；当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，19.(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，且a=2，得,b=1,∴所求椭圆方程为.（2）①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程则由，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，△=16（1+4k2-m2）＞0，,由,得,法一：设定圆圆心则是定值所以法二：由特殊情况先猜测圆心在原点，然后计算原点到直线的距离为定值来验证②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，原点O到直线AB的距离为,综上所述，即该定圆方程为·20.解：（1）当当(2)eq\f(b1,a1)＝1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\s\up12(1)＝1＋1＝2；eq\f(b1b2,a1a2)＝eq\f(b1,a1)·eq\f(b2,a2)＝2·2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝(2＋1)2＝32；eq\f(b1b2b3,a1a2a3)＝eq\f(b1b2,a1a2)·eq\f(b3,a3)＝32·3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝(3＋1)3＝43.由此推测：eq\f(b1b2…bn,a1a2…an)＝(n＋1)n.②下面用数学归纳法证明②.当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，②成立，即eq\f(b1b2…bk,a1a2…ak)＝(k＋1)k.当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k＋1)))eq\s\up12(k＋1)ak＋1，由归纳假设可得eq\f(b1b2…bkbk＋1,a1a2…akak＋1)＝eq\f(b1b2…bk,a1a2…ak)·eq\f(bk＋1,ak＋1)＝(k＋1)k·(k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k＋1)))eq\s\up12(k＋1)＝(k＋2)k＋1.所以当n＝k＋1时，②也成立．综上，可知②对一切正整数n都成立.
浙公网安备 33021202002483