高中数学 导数研究函数解析 新人教版

此 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。PAGE利用导数研究函数利用导数研究函数问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，主要问题有：1.求函数图象的切线方程：要知道导数和切线斜率的关系、知道经过点A的切线和在点A处的切线两种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达方式的区别。2.求函数的单调区间：对应的区间是增区间，对应的区间是减区间。在实际解题时，为了避免解不等式的麻烦。可以按下列步骤求解：（1）求导数（2）判断是否恒大于或等于0（小于或等于0），如果是，则在其定义域内递增或递减。否则，令并求根（3）列表：用将函数的定义域分划成几个区间，并判断在各区间的正负，从而，知道函数在各区间的单调性。3.求函数的极值、函数的最值。如果可导函数在处有极值，则，但如果，在处不一定有极值；函数的最大（小）值只可能在区间端点、极值点处取得。求函数在区间最值的一般步骤，可以在求函数单调区间一般步骤基础上简化为：（1）求导数。（2）令并求根（3）计算，比较它们大小即可。4.利用导数解决条件不等式问题、解决函数图象交点个数问题。其本质是根据函数的单调性、极值、最值的基本情况，刻画函数图象的基本面貌，利用数形结合的基本思想解决问题。下面的思想方法很重要，恒成立，则的最大值；恒成立，则的最小值。练习1.函数，当时，取得极大值8；当时，有极小值-19，求的表达式。解：依题意，有，在内是减函数，且，又，，，故。2.设函数，已知和为的极值点．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．解：解：（Ⅰ）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．（Ⅱ）因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，则．令，得，因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．3.已知函数在区间上都是增函数，在（0，4）上是减函数.求b的值；（2）求a的取值范围.【解答】⑴由条件知是函数的极值点.∵，令，得.⑵已求，∴.令，得.由条件知为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.∴，，得.4.已知曲线与曲线交于O、A两点，直线与曲线分别交于B、D。⑴写出四边形ABOD的面积S与的函数关系；⑵讨论的单调性，并求的最大值。解：（1）由方程得交点又（2）令递增，递减。最大=5.已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。解：设直线与的切点分别为，又或，的方程为：或。6.证明：对任意正数，有不等式恒成立。解：讨论函数在区间上的最大值，，令，将区间分成两个区间与，列表：10极大值点故当时，有最大值，又，。7．已知抛物线，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线。⑴若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（）；⑵设为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。解：(1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点M的坐标为。（2）设为C上一点，①若，则C上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；②若，则过点的法线方程为：①若法线过，则，即②若，则，从而，将上式代入①，化简得：，若与矛盾，若，则②式无解。综上，当时，在C上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是：。当时，在C上有一点，在这点的法线过点，其方程为：。8.已知函数．（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域为{且}…………………1分∴为偶函数…………………3分（Ⅱ）当时，…………………4分若，则，递减；若，则，递增．…………………6分再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和．…………………8分xyO-111-1111。（Ⅲ）方法一：要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有交点．函数的图象如图．…………………9分先求当直线与的图象相切时的值．当时，设切点为，则切线方程为，将代入，得即（*）…………………10分显然，满足（*）而当时，，当时，∴（*）有唯一解…………………12分此时再由对称性，时，也与的图象相切，…………………13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．…………………14分方法二：由，得：…………………9分令当，…………………10分显然时，，时，，∴时，…………………12分又，为奇函数∴时，∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）…………………13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．…………………14分9.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：（I）设商品应降价x元，则多卖的商品数为.每件商品的实际利润是30-9-=21-（元）已知=2时，=24..记商品周利润为，则.（II）.令，得在内，的单调变化情况是：212-0+0-极小极大故当时，有最大值11664.10.已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值。解：（=1\*ROMANI）解：（=2\*ROMANII）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗11.设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.12.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解：（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.13.设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤。解答(1)∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.∵x=1时,f(x)取极小值-.∴f′(1)=0且f(1)=-,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0;当x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=,fmin(x)=f(1)=-.∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤.【点晴】①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.14.已知函数（、）。（Ⅰ）若的图像在部分在轴的上方，且在点处的切线与直线平行，求的取值范围；（Ⅱ）当、，且时，不等式恒成立，求的取值范围。解答：（Ⅰ）。依题意，有，所以。因为的图像在部分在轴上方，所以在区间上的最小值大于零。令，于是由，，，知：在区间上的最小值为，故有；（Ⅱ）（），即当时，，即恒成立，由此得。15.已知平面向量=(,-1).=(,).(1)证明⊥；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3)，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.解答：(1)∵=×+(-1)×=0∴⊥.(2)∵⊥，∴=0即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.整理后得-k+[t-k(t2-3)]+t(t2-3)·=0∵=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗极大值↘极小值↗当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：(1)当k＞或k＜-时,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；(3)当-＜k＜时,方程f(t)-k=0有三解.【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关16.设抛物线y=x2与直线y=x+a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。解答：将y=x+a代入y=x2整数得x2－x－a=0①,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△=(－1)2＋4a＞0，所以a＞－设此两交点为(α，α2)，(β,β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.两切线交点为(x，y)则因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a由此及②可得x=，y=－a＜从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分17.设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=3－2－1若=0，则==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点18.已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，，即解得.∴.令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.19.已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。20.已知函数f（x）=x3－x2+bx+c.（1）若f（x）的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈［－1，2］时，f（x）0;当x∈（－，1）时，f′(x)<0;x∈（1，2）时，f′(x)>0，∴当x=－时，f（x）有极大值+c，又f（－1）=+c，f（2）=2+c，即当x∈［－1，2］时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，∵对x∈［－1，2］时，f（x）2+c，12分解得c<－1或c>2，故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，+∞）.16分19.