第3章 立体及其表面交线

第3章立体及其表面交线的投影3.1平面立体3.2回转体3.3截交线3.4相贯线3.1平面立体3.1.1棱柱1.棱柱的投影如图3-1(a)所示的正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱柱有六个侧面，前后为正平面，其正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。棱柱的其他四个侧面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似形。图3-1正六棱柱图3-1正六棱柱直棱柱的投影特点：一个投影为多边形，反映棱柱的形状特征，另外两个投影是由矩形（实线和虚线）组成的矩形线框。作图时，先画反映棱柱形状特征的投影——多边形，再根据棱柱的高作出其他两个投影。2.棱柱表面上的点在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的点可利用平面投影的积聚性来作图。如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。3.1.2棱锥1.棱锥的投影如图3-2(a)所示的正三棱锥，锥顶为S，其底面△ABC为水平面，水平投影△abc反映实形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形，棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s″a″（c″）积聚为一直线。图3-2正三棱锥图3-2正三棱锥棱锥的投影特点：一个投影为由三角形组成的多边形线框，外形轮廓反映底面实形，另外两个投影为由三角形（实线和虚线）组成的三角形线框。作图时，先画出棱锥底面的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线，并判别可见性。2.棱锥表面上的点如果点在棱线上，则可利用点在直线上，其投影必定在该直线的同面投影上求得。如果点所在的平面具有积聚性，则可利用积聚性直接求得。如果点所在的平面为一般位置平面，可通过在该平面上作辅助线的方法求得。例如，已知棱锥表面上M点的正面投影m′，求水平、侧面投影m、m″。由于m′是可见的，因此该点在一般位置平面——棱面SAB上，可过锥顶S和M点作一辅助线SⅡ，然后，在s2上求出M点的水平投影m，再根据m、m′求出m″。又例如，已知N点的水平投影n，由于n是可见的，因此，N点在侧垂面△SAC上，n″必定在s″a″（c″）上，由n、n″可求出（n′），如图3-2(b)所示。3.2回转体由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面，由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的回转体有圆柱、圆锥和圆球等。3.2.1圆柱1.圆柱面的形成圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而成的。圆柱体由圆柱面和顶面、底面组成。2.圆柱的投影圆柱的顶面、底面是水平面，正面和侧面投影积聚为一直线，由于圆柱的轴线垂直于水平面，圆柱面的所有素线都垂直于水平面，故其水平投影积聚为圆，如图3-3所示。图3-3圆柱图3-3圆柱在圆柱的正面投影中，矩形的两条竖线分别是圆柱的最左、最右素线的投影，即圆柱面前后分界线（转向轮廓线）的投影。它们把圆柱面分为前后两半，圆柱面投影前半部可见，后半部不可见，这两条素线是可见与不可见的分界线。在圆柱的侧面投影中，矩形的两条竖线分别是圆柱的最前、最后素线的投影，即圆柱面左右分界线（转向轮廓线）的投影。矩形的两条水平线，分别是圆柱顶面和底面的积聚性投影。3.圆柱表面上的点在图3-3(b)中，圆柱面上有两点M和N，已知其正投影m′和n′，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向轮廓线上，其另外两投影可直接求出；而点M可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点M的水平投影m，再由m和m′求出m″。点M在圆柱面的右半部分，故其侧面投影m″不可见。3.2.2圆锥1.圆锥面的形成圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。2.圆锥的投影图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的投影，它们把圆锥面分为左、右两半。图3-4圆锥图3-4圆锥3.圆锥表面上的点转向轮廓线上的点由于位置特殊，作图较为简单。如图3-4(b)所示，在最左素线SA上的一点M，只要已知其一个投影（如已知m′），其他两个投影（m、m″）即可直接求出。但是在圆锥面上的点K，只能用间接的方法——作辅助线，才能由一已知投影求出另外两个投影。图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。3.2.3圆球1.圆球面的形成圆球面是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转形成的。2.圆球的投影圆球面的三个投影是圆球上平行于相应投影面的三个不同位置的最大轮廓圆。正面投影的轮廓圆是前、后两半球面的可见与不可见的分界线；水平投影的轮廓圆是上、下两半球面的可见与不可见的分界线；侧面投影的轮廓圆是左、右两半球面的可见与不可见的分界线。如图3-5所示。图3-5圆球图3-5圆球3.圆球表面上的点已知圆球面上点A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求各点的其他投影，如图3-5(b)所示。因a′为可见，且在平行于正面的最大圆上，故其水平投影a在水平对称中心线上，侧面投影a″在垂直对称中心线上；b′为不可见，且在垂直对称中心线上，故点B在平行于侧面的最大圆的后半部，可由b′先求出b″，最后求出b。以上两点均为特殊位置点，可直接作图求出其另外两投影。由于点c在球面上不处于特殊位置，故需作辅助纬圆求解。3.3截交线在物体上常有平面与立体相交或立体与立体相交而形成的交线。平面与立体表面的交线称为截交线，立体与立体表面的交线称为相贯线。画图时，为了清楚地表达物体的形状，必须正确地画出其交线的投影。3.3.1平面立体的截交线平面立体被截平面截切后所得的交线——截交线，是由直线组成的平面多边形。多边形的边是立体表面与截平面的交线，而多边形的顶点则是立体棱线与截平面的交点。截交线既在立体表面上，又在截平面上，所以它是立体表面和截平面的共有线，截交线上的每一点都是它们的共有点。因此，求截交线实际上是求截平面与平面立体棱线的交点，或求截平面与平面立体表面的交线。例1求作被正垂面截切后的四棱锥的三视图（图3-6）。图3-6四棱锥的截交线图3-6四棱锥的截交线分析：如图3-6所示，截交线为四边形，四边形的四个顶点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别是四条棱SA、SB、SC、SD与截平面P的交点。只要求出截交线四个顶点的投影，然后依次连接各点的同面投影，即得截交线的投影。因此，问题归结为求一般位置直线与特殊位置平面的交点。作图：(1)因截平面的正面投影具有积聚性，可直接求出截交线四边形各顶点的正面投影1′、2′、3′、4′（图3-6(b)）。(2)根据直线上点的投影，求出四边形各顶点的其余投影。(3)依次连接各顶点的同面投影，完成全图（图3-6(c)）。3.3.2回转体的截交线回转体的截交线通常是一条封闭的平面曲线。截交线的形状与回转体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。当截平面与回转体的轴线垂直时，任何回转体的截交线都是圆，这个圆就是纬圆。截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上的点也都是它们的共有点。当截平面为特殊位置平面时，截交线的投影就积聚在截平面具有积聚性的同面投影上，可利用回转体表面上取点的方法求作截交线。截交线上有一些能确定其形状和范围的特殊点，包括轮廓线上的点（可见与不可见的分界点）和极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点）等，其他的点为一般点。求截交线时，通常先作出这些特殊点，然后按需要再求作若干一般点，最后依次光滑连接各点的同面投影，并判别可见性。1.圆柱的截交线根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种形状，见表3-1。例2求作斜切圆柱的截交线（图3-7）。图3-7圆柱的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图图3-7圆柱的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图c图3-7圆柱的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图图3-7圆柱的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图分析：截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆。由于截平面P为正垂面，截交线的正面投影积聚在截平面的积聚性投影p′上，水平投影与圆柱面的积聚性投影（圆周）重合（图3-7(a)）。利用点的投影规律，即可求出截交线的侧面投影。作图：(1)求特殊点：特殊点指转向轮廓线上的点、极限位置点及椭圆长、短轴的端点。根据它们的正面投影a′、b′、c′、d′，可求得侧面投影a″、b″、c″、d″（图3-7(b)）。其中，a″、b″分别为椭圆的最低点（最左点）和最高点（最右点）；c″、d″分别为椭圆的最前点和最后点，c″、d″和a″、b″分别是椭圆的长、短轴的端点。特殊点对确定截交线的范围、趋势和判别可见性以及准确地求作截交线有着重要的作用，作图时必须首先求出。(2)求一般点：为使作图更为准确，还需作出一定数量的一般点，如图3-7(c)中的E、F点。(3)依次光滑连接各点的侧面投影，完成全图（图3-7(d)）。例3画出如图3-8(a)所示的上部开槽、下部切口圆柱体的三视图。图3-8圆柱切口开槽的画法图3-8圆柱切口开槽的画法分析：图3-8(a)所示立体是一个圆柱体被四个侧平面和三个水平面切割而成的。四个侧平面与圆柱面的交线为八条铅垂线，其正面投影和侧面投影反映实长；三个水平面与圆柱面的交线为四段圆弧，其水平投影积聚在圆柱面的水平投影上。作图：先画出完整圆柱体的三视图，再按凹槽和切口的宽度（左右方向）和深度依次画出正面投影和水平投影，最后求出侧面投影。由于圆柱最前、最后素线的上端被切去一段，使侧面投影的轮廓线向中心“退缩”，呈“凸”字形。圆柱底部被切去的部分是左右两边，最前、最后素线完整（图3-8(b)）。2.圆锥的截交线根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状，见表3-2。例4求作正平面P与圆锥的截交线（图3-9）。图3-9圆锥的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图图3-9圆锥的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图图3-9圆锥的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图图3-9圆锥的截交线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接各点，完成全图分析：由于截平面P与圆锥的两条素线（最左素线和最右素线）平行，所以截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影分别和截交线的积聚性投影重合，只需作出正面投影。作图：(1)求特殊点：根据侧面投影3″，可求出最高点Ⅲ的正面投影3′。根据水平投影1、5可求出最低点Ⅰ、Ⅴ的正面投影1′、5′。Ⅰ、Ⅴ两点也是最左点和最右点，可认为是底圆圆周与截平面P的交点（图3-9(b)）。(2)求一般点：作辅助水平面Q与圆锥相交，交线是圆，该圆的水平投影与截平面的水平投影相交于2、4，再由2、4求出正面投影2′、4′。其实，如果将辅助平面Q截切后的立体和原来的立体进行比较就可以发现，Ⅱ、Ⅳ和Ⅰ、Ⅴ正面投影的求法是相同的（图3-9(c)）。(3)依次光滑连接各点，完成全图（图3-9(d)）。3.圆球的截交线用任何位置的平面截切圆球，其截交线都是圆。例5已知开槽半圆球的正面投影，求作其余两投影（图3-10）。 图3-10开槽半圆球(a)开槽半圆球；(b)画槽的底面投影；(c)画槽的侧面投影图3-10开槽半圆球(a)开槽半圆球；(b)画槽的底面投影；(c)画槽的侧面投影图3-10开槽半圆球(a)开槽半圆球；(b)画槽的底面投影；(c)画槽的侧面投影分析：矩形槽的两侧面是侧平面，它们与半圆球的截交线为两段圆弧，侧面投影反映实形；槽底是水平面，与半圆球的截交线也是两段圆弧，水平投影反映实形。作图：先画出半圆球的三视图，再作矩形槽的水平投影和侧面投影。R1由主视图所示槽深决定，R2由主视图所示槽宽决定。在侧面投影中，圆球的轮廓线被切去的部分不应画出。槽底的侧面投影的中间部分不可见，应画成虚线。3.4相贯线两立体表面相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。相贯线是相交两立体表面的共有线，可看做是两立体表面上一系列共有点的集合，因此求相贯线实质上就是求两立体表面共有点的投影。相贯线一般为封闭的空间曲线。3.4.1利用积聚性求作相贯线两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，由于圆柱在该投影面上的投影——圆，具有积聚性，因而相贯线的这一投影是已知的，利用这个已知投影，就可在另一回转体上用立体表面上取点的方法作出相贯线的其他投影。例6求作轴线正交的两圆柱的相贯线（图3-11）。图3-11利用积聚性求作相贯线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接图3-11利用积聚性求作相贯线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接图3-11利用积聚性求作相贯线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接图3-11利用积聚性求作相贯线(a)分析；(b)作特殊点；(c)作一般点；(d)光滑连接分析：从图3-11(a)中可看出，直立大圆柱水平投影具有积聚性，水平小圆柱侧面投影具有积聚性，小圆柱完全贯入大圆柱，所以相贯线的水平投影积聚在大圆柱的水平投影上，为一段圆弧；相贯线的侧面投影则积聚在小圆柱的侧面投影上，为一个圆。根据点的投影规律，即可求出相贯线的正面投影。作图：(1)求特殊点：大圆柱左边的轮廓线与小圆柱交于Ⅰ、Ⅲ两点，小圆柱的上、下、前、后四条轮廓线与大圆柱交于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四点，这四点也是极限位置点，它们的正面投影可直接求得（图3-11(b)）。(2)求一般点：先在相贯线的已知投影如水平投影中取点5、（6），根据宽相等作出侧面投影5″、6″，然后由点的投影规律求出正面投影5′、6′（图3-11(c)）。(3)依次光滑连接各点的正面投影，完成全图（图3-11(d)）。相贯线只有同时位于两个立体的可见表面时，这段相贯线的投影才是可见的；否则就不可见。由于该相贯体前后对称，因而相贯线的正面投影实线和虚线重合。两正交圆柱的相贯线，当其相对大小（直径）发生变化时，相贯线的形状、弯曲趋向将随着变化，如图3-12所示。图3-12不同直径圆柱的相贯线图3-12不同直径圆柱的相贯线两轴线垂直相交的圆柱在机械零件上是最常见的，它们的相贯线一般有图3-13所示的三种形式，其作图方法也是相同的。 图3-13两圆柱正交的三种形式图3-13两圆柱正交的三种形式图3-13两圆柱正交的三种形式3.4.2相贯线的特殊情况和简化画法两回转体相交，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。当两回转体具有公共轴线时，其相贯线为垂直于轴线的圆，圆在轴线所平行的投影面上投影为直线，如图3-14所示。图3-14同轴回转体的相贯线图3-14同轴回转体的相贯线图3-14同轴回转体的相贯线当两等径圆柱轴线相交时，其相贯线为一平面曲线——椭圆，且在与两轴线平行的投影面上的投影为直线，如图3-12所示的中间两等径圆柱相贯的情况。当两圆柱轴线平行时，其相贯线是两条平行于轴线的直线，如图3-15所示。在实际画图中，当两圆柱轴线垂直相交，且对相贯线形状的准确度要求不高时，相贯线可采用近似画法：用大圆柱的半径作圆弧来代替相贯线的投影，圆弧的圆心在小圆柱的轴线上，相贯线向着大圆柱的轴线方向弯曲，如图3-16所示。其作图步骤如下：(1)找圆心：以两圆柱转向轮廓线的交点1′(或2′)为圆心，以大圆柱的半径D/2为半径，在小圆柱的轴线上找出圆心O。(2)作圆弧：以O为圆心、D/2为半径画弧。图3-15平行两圆柱的相贯线图3-16用圆弧代替相贯线的简化画法