福建省长乐高级中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理(1)

PAGE福建省长乐高级中学2020届高三数学上学期第一次月考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 理说明：1、本试卷分第I、II两卷，考试时间：90分钟满分：100分2、Ⅰ卷的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 用2B铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本题包括12小题，每小题4分，每小题只有一个答案符合题意）1．已知集合A={x|x2﹣2x≤3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）A．[0，3]B．（0，3]C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）2．已知i是虚数单位，则=（　　）A．iB．iC．iD．i3．已知a=log0.62，b=log20.6，c=0.62，则（　　）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b4．已知函数，则=（　　）A．4B．C．﹣4D．5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=ex﹣1，则f（﹣2020）+f（2020）=（　　）A．0B．eC．e﹣1D．1﹣e6．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（　　）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（　　）A．10B．lg99C．2D．lg1018．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（　　）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁9．函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）A．B．C．D．10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，命题，则下列命题中的真命题为（　　）A．￢qB．p∧qC．（￢p）∧qD．（￢p）∨（¬q）11．已知定义在R上的函数f（x）=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）12．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）　第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题4分，共计16分）13．已知向量，的夹角为60°，||=2，|+2|=2，则||=　　．14．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为　　．15．已知函数图象关于原点对称．则实数的值为　　．16．下列命题中，真命题的序号是　　．①“若x＞2，则x＞3”的否命题；②“∀a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定；③“x2+y2=0”是“xy=0”的必要条件；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．　三．解答题（共4小题，每小题9分）17．已知集合A={y|y=log3（x﹣4），x≥a}，B={y|1≤y≤5}，C={x|m+1≤x≤2m}．（1）若a=13，求∁R（A∩B）；（2）若a=85，且A∪C=A，求m的取值范围．18．设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=ex+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y﹣2=0．（1）求函数f（x）解析式；（2）求f（x）在R上的极值．（二）选考题：共9分。请考生在第20、21题中任选一题作答，请做好涂点识别；如果多做，则按所做的第一题计分。20．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．21．设函数f（x）=|ax﹣1|．（1）若f（x）≤2的解集为[﹣2，6]，求实数a的值；（2）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．　长乐高级中学2020学年第一学期第一次月考高三数学（理科）参考答案一．选择题（共12小题）1．已知集合A={x|x2﹣2x≤3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）A．[0，3]B．（0，3]C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x≤3}={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x≤3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．　2．已知i是虚数单位，则=（　　）A．iB．iC．iD．i【分析】分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出．【解答】解：原式==．故选：C．【点评】本题考查了复数的除法运算法则，属于基础题．　3．已知a=log0.62，b=log20.6，c=0.62，则（　　）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b【分析】a=log0.62=﹣1，又ab=1．可得b=log20.6∈（﹣1，0），而c＞0，即可得出大小关系．【解答】解：a=log0.62=﹣1，又ab=×=1．∴b=log20.6∈（﹣1，0），c=0.62＞0，则c＞b＞a．故选：C．【点评】本题考查了对数运算性质、换底公式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　4．已知函数，则=（　　）A．4B．C．﹣4D．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．　5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=ex﹣1，则f（﹣2020）+f（2020）=（　　）A．0B．eC．e﹣1D．1﹣e【分析】求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可．【解答】当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期为2．所以f（2020）=f（1），f（2020）=f（0）又f（x）为奇函数，所以f（﹣2020）=﹣f（2020）而当x∈[0，1]时f（x）=ex﹣1，所以f（﹣2020）+f（2020）=﹣f（2020）+f（2020）=﹣f（1）+f（0）=﹣（e1﹣1）+（e0﹣1）=1﹣e，故选：D．【点评】此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用．　6．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】首先求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式即可求得最终结果．【解答】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，结合几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．　7．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（　　）A．10B．lg99C．2D．lg101【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，根据对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）的值，a=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg2+lg+lg+…+lg=lg2+lg3﹣lg2+lg4﹣lg3+…+lg101﹣lg100=lg101．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．　8．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（　　）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁【分析】先假设中奖的两个人，然后逐一判断即可．【解答】解；（1）假设甲乙中奖，此时甲说的对，此时乙说的错误，丙说的对，不满足题意．（2）假设乙丙中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错，不满足题意．（3）假设丙丁中奖，此时甲说的对，乙说的对，丙说的对，满足题意．（4）假设甲丁中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错．故选：C．【点评】本题考查简单的合情推理，属于基础题型．　9．函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．　10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，命题，则下列命题中的真命题为（　　）A．￢qB．p∧qC．（￢p）∧qD．（￢p）∨（¬q）【分析】根据函数的单调性以及函数的图象与性质，分别判断命题p，q的真假，再结合选项得出答案．【解答】解：命题p：构造函数f（x）=x﹣sinx，x＞0，f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（0）=0，则f（x）＞0，即x＞sinx成立，命题p正确；命题q：令y1=（）x，y2=logx，分别画出两个函数的图象可知，在（0，1）上有一个交点，即命题q正确；综上可知p∧q正确，故选：B．【点评】本题考查判断命题的真假，属于中档题．　11．已知定义在R上的函数f（x）=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得f′（x）=ax2+2x+a，由函数的导数与函数的单调性对应关系分析可得△=4﹣4a2＞0，且a≠0，解出a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=ax3+x2+ax+1，其导数f′（x）=ax2+2x+a，若函数f（x）=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f′（x）=ax2+2x+a=0有2个零点，则有△=4﹣4a2＞0，且a≠0，解可得：﹣1＜a＜1，且a≠0，即实数a的取值范围是（﹣1，0，（0，1）；故选：D．【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，注意单调区间与函数的极值的对应关系．　12．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．　二．填空题（共4小题）13．已知向量，的夹角为60°，||=2，|+2|=2，则||=　2　．【分析】根据题意，设||=t，由数量积的计算公式可得•=t，又由|+2|=2，可得（+2）2=2+4•+42=4+4t+4t2=28，变形解可得t的值，有向量模的几何意义即可得答案．【解答】解：根据题意，设||=t，若向量，的夹角为60°，则•=2tcos60°=t，又由|+2|=2，则有（+2）2=2+4•+42=4+4t+4t2=28，即t2+t﹣6=0，解可得t=2或t=﹣3（舍）；故t=2，即||=2；故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式．　14．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为　[﹣1，3）∪[7，+∞）　．【分析】根据条件即可得出f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且得到f（﹣4）=0，从而可根据f（x﹣3）≤0得出：x﹣3＞0时，f（x﹣3）≤f（4），从而得到x﹣3≥4，这样即可得到x≥7，同样可得出x﹣3＜0时x的范围，求并集即得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；又f（4）=0；∴f（﹣4）=0；∵f（x﹣3）≤0；∴①x﹣3＞0，即x＞3时：f（x﹣3）≤f（4）；∵f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x﹣3≥4；∴x≥7；②x﹣3＜0，即x＜3时：f（x﹣3）≤f（﹣4）；∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴x﹣3≥﹣4；∴﹣1≤x＜3；综上得，x的取值范围为[﹣1，3）∪[7，+∞）．故答案为：[﹣1，3）∪[7，+∞）．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义及运用．　15．已知函数f（x）=lg（+ax）图象关于原点对称．则实数a的值为　±2　．【分析】函数关于原点对称，通过 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式可知函数的定义域是R，故得到函数是奇函数，根据奇函数的性质可得到；f（1）=f（﹣1），f（1）=﹣f（﹣1），代入表达式得到参数值即可．【解答】解：函数关于原点对称，通过表达式可知函数的定义域是R，故得到函数是奇函数，故f（1）=﹣f（﹣1），，，解得；a=±2．a=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了函数的奇偶性，对数的运算性质，属于基础题型．　16．下列命题中，真命题的序号是　①②　．①“若x＞2，则x＞3”的否命题；②“∀a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定；③“x2+y2=0”是“xy=0”的必要条件；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．【分析】①，写出命题的否命题，再判断它的真假性；②，判断原命题是假命题，得出该命题的否定是真命题；③，判断充分性与必要性是否成立即可；④，由函数图象平移变换知该命题是假命题．【解答】解：对于①，“若x＞2，则x＞3”的否命题是“若x≤2，则x≤3”，它是真命题；对于②，“∀a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”是假命题，∴该命题的否定是真命题；对于③，由“x2+y2=0”得出“xy=0”成立，即充分性成立，由“xy=0”不能得出“x2+y2=0”成立，即必要性不成立，是充分不必要条件，③是假命题；对于④，函数y=f（x）和y=f（﹣x）的图象关于直线x=0对称，函数y=f（1+x）的图象可由y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数y=f（1﹣x）=f（﹣（x﹣1））图象可由y=f（﹣x）的图象右移一个单位得到，所以函数y=f（1+x）和y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称，④是假命题；综上，正确的命题序号是①②．故答案为①②．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．　三．解答题（共5小题）17．已知集合A={y|y=log3（x﹣4），x≥a}，B={y|1≤y≤5}，C={x|m+1≤x≤2m}．（1）若a=13，求∁R（A∩B）；（2）若a=85，且A∪C=A，求m的取值范围．【分析】（1）先化简A，B，再根据交集和补集的定义即可求出，（2）根据集合A，C的关系，列出不等式，解出参数的范围．【解答】解：（1）∵a=13，∴x﹣4≥9，∴A=[2，+∞），又B=[1，5]，∴A∩B=[2，5]，∴CR（A∩B）=（﹣∞，2）∪（5，+∞）．（2）∵A∪C=A，∴C⊆A．∵a=85，∴x﹣4≥81，∴A=[4，+∞）．①若C=∅，则m+1＞2m，∴m＜1．②若C≠∅，则，则m≥3．综上，m的取值范围为（﹣∞，1）∪[3，+∞）．【点评】本题考查集合的交并补运算，以及集合间的关系，属于基础题．　18．设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，（1）然后根据若p、q为真命题，列式计算，（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分别求出确实实数m的取值范围即可．【解答】解：（1）p真，则或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，．（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，⇒a≤﹣2，若p真q真，则，⇒综上a≤﹣2或．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．　19．已知函数f（x）=ex+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求f（x）在R上的极值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得a，b，进而得到所求解析式；（Ⅱ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ex+ax+b的导数为f′（x）=ex+a，可得在点A（0，f（0））处的切线斜率为1+a，且f（0）=1+b，由切线l的方程为x+y﹣2=0，可得1+a=﹣1，1+b=2，解得a=﹣2，b=1，则f（x）=ex﹣2x+1；（Ⅱ）f（x）=ex﹣2x+1的导数为f′（x）=ex﹣2，f′（x）=0，可得x=ln2，当x＜ln2，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞ln2，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，且为f（ln2）=3﹣2ln2，无极大值．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．　20．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）利用极坐标转化为普通方程求解（2）把参数表达式代入曲线C得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可．【解答】解：（1）ρsin2θ=2acosθ可变为ρ2sin2θ=2aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax．直线l的参数方程为．（2）将直线l的参数表达式代入曲线C得，∴．又|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，由题意知，|t1﹣t2|2=|t1t2|，（t1+t2）2=5t1t2，代入解得a=1．【点评】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于容易题．　21．设函数f（x）=|ax﹣1|．（1）若f（x）≤2的解集为[﹣2，6]，求实数a的值；（2）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（2）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）显然a≠0，当a＞0时，解集为，，；当a＜0时，解集为，令，无解，综上所述，；（2）当a=2时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|4x+1|﹣|2x﹣3|=；由此可知，h（x）在单调减，在和单调增，则当时，h（x）取到最小值，由题意知，，则实数m的取值范围是．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中档题．