阿基米德是通过计算边数倍增的圆外切和内接正多边形的周长来求圆周率近似值的，开圆周率几何计算之先河。对于外切正多边形的周长，阿基米德的计算基于如下的定理1设AC是圆O在A点的切线，OD是∠AOC的平分线，交AC于D，则有。若设（为圆外切正n边形边长，相应地），，，则定理1就是：图5-1 图 5-2， (1)阿基米德从开始（相应地，），根据(1)以及公式，依次算出、、、，最后得到。在内接正多边形的情形，阿基米德的计算基于如下的定理2设是圆O直径上的圆周角，是的平分线，则有.若设（为圆内接正n边形边长，相应地），，则定理2就是：(2)阿基米德从开始（相应地，），根据(2)以及公式依次算出，，，，最后得到。因此阿基米德获得最后结果由(1)和(2)可得下面的递推公式：，， (3)另一方面，若在阿基米德图5-2中，连接并延长，交圆在A点的切线于C（见图5-3），则，这
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
明，当时，。又因Rt∽Rt，故得，或，即(4)图 3由(3)和(4)得， (5)又因∽，故有，即(6)由(4)和(6)得，因此(7)易从(5)和(7)得到递推公式，（8）其中和分别为圆内接和外切正n边形的周长。又因，，，其中和分别表示圆内接和外切正n边形面积。故得，，因此得递推公式，(9)从(8)易知，在数列，，，中，第三和第四项分别是它们前面两项的算术中项和几何中项。因此，若从边长为的圆外切正方形开始（此时圆半径为，周长为，内接正方形周长为）依次求出边数倍增的圆外切和内接正多边形的周长，它们的倒数构成数列，，， (10)显然其极限为。类似地，从(9)知，在数列，，，中，第三和第四项分别是它们前两项的几何中项和算术中项。因此，从边长为1的圆内接正方形开始（此时圆半径为，面积为，外切正方形面积为2），依次求出边数倍增的圆内接和外切正多边形的面积，它们的倒数序列为：，，，， (11)其极限为。在数列(11)第一项前添一项0，即得下面的收敛速度很快的圆周率迭代法定理3如果一数列的前两项为0和1,自第三项起，交替为前两项的算术中项和几何中项。那么该数列的极限为。
浙公网安备 33021202002483