PAGE§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二 两向量的夹角与垂直思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案 存在夹角，不一样．思考2 △ABC为正三角形，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝a，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.梳理 (1)夹角：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．( × )提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.类型一 对基底概念的理解例1 (2020·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2考点 平面向量基本定理题点 基底的判定答案 B解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A．e1－e2，e2－e1B．2e1－e2，e1－eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1＋3e2考点 平面向量基本定理题点 基底的判定答案 D解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,2)e2))，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．类型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→)).考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－b＋a＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a.引申探究若本例中其他条件不变，设eq\o(DE,\s\up6(→))＝a，eq\o(BF,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解 取CF的中点G，连接EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，∴eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又∵eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 eq\f(4,3)解析 设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).类型三 向量的夹角例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.考点 平面向量的夹角求向量的夹角题点 求向量的夹角解 如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练3 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\f(1,2)AB，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是( )A．30°B．60°C．120°D．150°考点 平面向量的夹角求向量的夹角题点 求向量的夹角答案 C解析 如图，作向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则∠BAD是eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.1．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中，说法正确的为( )A．①②B．②③C．①③D．①②③考点 平面向量基本定理题点 基底的判定答案 B2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )A．①②B．①③C．②④D．③④考点 平面向量基本定理题点 基底的判定答案 B解析 ②中eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，④中eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，①③中两向量不共线，故选B.3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 －15 －12解析 ∵向量e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝6，,3x－4y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－15，,y＝－12.))4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 eq\f(1,2)解析 eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，λ1＋λ2＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).5．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2为基底表示eq\o(CF,\s\up6(→)).考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量解 eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(e1－e2)，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(3,4)(e1－e2)＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的
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思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.一、选择题1．如图所示，矩形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))等于( )A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 A解析 eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．2．如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 C3．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于( )A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 C解析 因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))．所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))解得λ＝－eq\f(1,3).4．(2020·石嘴山第三中学四模)设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )A.eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 D解析 依题意，得eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选D.5．若eq\o(OP,\s\up6(→))1＝a，eq\o(OP,\s\up6(→))2＝b，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP,\s\up6(→))2(λ≠－1)，则eq\o(OP,\s\up6(→))等于( )A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 D解析 ∵eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))1＝λ(eq\o(OP,\s\up6(→))2－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))1＋λeq\o(OP,\s\up6(→))2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))1＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))2＝eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b.6．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 B解析 eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)为eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)为eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up6(→))的方向．又λ∈(0，＋∞)，所以λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向相同．而eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以点P在eq\o(AD,\s\up6(→))上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°考点 平面向量的夹角求向量的夹角题点 求向量的夹角答案 C二、填空题8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 2a－2b解析 设c＝λa＋μb，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2，因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝λ＋2μ，,4＝λ－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－2，))故c＝2a－2b.9．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________.(填“共线”或“不共线”)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 不共线 不共线解析 ∵e1，e2不共线，λ1＞0，λ2＞0，∴a与e1，e2都不共线．10．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设eq\o(MA,\s\up6(→))＝a，eq\o(MB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(MC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b解析 eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.11．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.三、解答题12．在梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，M，N分别是DA，BC的中点，且eq\f(DC,AB)＝k.设eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，以e1，e2为基底表示向量eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量解 方法一 如图所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，且eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))＝ke2.又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1＋(k－1)e2.又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，且eq\o(NB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.方法二 如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.同方法一可得eq\o(DC,\s\up6(→))＝ke2.则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1＋(k－1)e2，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.方法三 如图所示，连接MB，MC.同方法一可得eq\o(DC,\s\up6(→))＝ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1＋(k－1)e2.由eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))，得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数(1)证明 若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∵e1与e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)解 由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分别为3和1.四、探究与拓展14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．考点 平面向量的夹角求向量的夹角题点 求向量的夹角答案 90°解析 由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.15.如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→)).其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数解 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)).在Rt△OCD中，∵|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
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