第53讲立体几何的综合应用(2016新课标卷I)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面RAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.证明：G是AB的中点；⑵在图中作出点E在平面FAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.IEE3I(1)证明：因为F在平面ABC内的正投影为D,所以AB丄FD.因为D在平面FAB内的正投影为E,所以AB丄DE.因为FDADE=D,所以AB丄平面FED，故AB丄PG.又由已知可得，FA=FB，所以G是AB的中点.在平面FAB内，过点E作FB的平行线交FA于点F,F即为E在平面FAC内的正投影.理由如下：由已知可得FBIFA,FB丄FC,又EF//FB,所以EF丄FA,EF丄FC.又FAAFC=F,因此EF丄平面FAC,即点F为E在平面FAC内的正投影.连接CG,因为F在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，斗2故CD=3CG.由题设可得FC丄平面FAB,DE丄平面FAB,21所以DE//FC，因此FE=3FG,DE=§FC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且FA=6,可得DE=2,FE=2.2.在等腰直角三角形EFF中，可得EF=FF=2,114所以四面体FDEF的体积V=-X-X2X2X2=-.323(2017新课标卷n)如图，四棱锥F-ABCD中，侧面FAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=知，/BAD=ZABC=90°⑴证明：直线BC//平面PAD;(2)若厶PCD的面积为2.：7，求四棱锥P-ABCD的体积.0131(1)在平面ABCD内，因为/BAD=ZABC=90°所以BC//AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD，故BC//平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM,CM.__1由AB=BC=2AD及BC//AD，/ABC=90。得四边形ABCM为正方形，则CM丄AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面FAD门平面ABCD=AD，所以PM丄AD,PM丄底面ABCD.因为CM?底面ABCD，所以PM丄CM.设BC=x,贝UCM=x,CD=,2x,PM=,：3x,PC=PD=2x.如图，取CD的中点N,连接PN,贝UPN丄CD,所以PN=-^x.因为△PCD的面积为27，所以2X:TxX-^x=2J7,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.'3.122+4厂厂所以四棱锥P-ABCD的体积V=3X2—X23=4；3.(2014新课标卷I)如图，三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面BB1C1C为菱形，BiC的中点为0,且AO丄平面BB1C1C.证明：B1C丄AB;若AC丄AB1,ZCBB1=60°BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.03(1)证明：连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C丄BC1.又AO丄平面BB1C1C,所以B1C丄AO,故BQ丄平面ABO.由于AB?平面ABO，故B1C丄AB.⑵作0D丄BC,垂足为D,连接AD.作OH丄AD，垂足为H.由于BC丄AO,BC丄OD，故BC丄平面AOD,0.n所以OH丄BC.又OH丄AD，所以OH丄平面ABC.因为/CBBi=60°所以△CBBi为等边三角形,又BC=1,可得OD11OA=尹1C=2且AD=,.OD2+OA2=47,由于AC丄ABi，所以由OHAD=ODOA,得OH=浮又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为.217故三棱柱ABC-A1B1C1的高为217CD.(2017新课标卷川)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD(1)证明：AC丄BD;且AE丄EC,(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)如图，取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD，所以AC丄DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC丄BO.BOnDO=O，从而AC丄平面DOB,BD?平面DOB,故AC丄BD.⑵连接EO.由(1)及题设知/ADC=90°在Rt△AOB中，BO2+AO2=又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=90°1由题设知厶AEC为直角三角形，所以EO=^AC.又△ABC是正三角形，所以AC=AB,1又AB=BD，所以EO=^BD.1故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的q，四面体ABCE1的体积为四面体ABCD的体积的q，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
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