第4节龙贝格求积公式龙贝格求积公式主要内容：一、梯形法的逐次分半算法二、龙贝格算法三、外推法的一般讨论主要内容梯形法的逐次分半算法解例1例题1例2解例题2例题2在等距节点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。逐次分半算法把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a）/2，于是T2=T1/2+[h/2]f(a+h/2）把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22=（b-a）/4，于是T4=T2/2+[h/22][f(a+h/4)+f(a+3h/4)]················把[a,b]2k等分，分点xi=a+(b-a)/2k·i（i=0，1，2···2k）每个小区间长度为(b-a)/2k，由归纳法可得逐次分半算法f[x_]:=Sin[x]/x;a=0;b=1;f[0]=1;f[1]=0.8414709;h[k_]:=(b-a)/2^k;T[0]=(b-a)/2*(f[a]+f[b])T[k_]:=1/2*T[k-1]+h[k]*Sum[f[a+h[k]*(2i-1)],{i,1,2^(k-1)}];N[Table[T[k],{k,1,5}],6];MatrixForm[%]Romberg方法为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。逐次分半算法一、龙贝格算法事后估计法利用计算结果来估计误差的方法龙贝格算法当n=1时,我们计算上式右端这恰好是辛普森公式的结果，即有比梯形公式有更好的精确度龙贝格算法类似地可验证：即龙贝格算法龙贝格算法可以验证事实上C1=(42S2-S1)/(42-1)=16S2/15-S1/15=(7y0+32y1+12y2+32y3+7y4)/90恰为柯斯特公式。同理，C2=(42S4-S2)/(42-1)，...龙贝格算法即,R1=(43C2-C1)/(43-1),R2=(43C4-C2)/(43-1),...Rn=(43C2n-Cn)/(43-1);上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列龙贝格算法用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推方法。龙贝格算法计算过程见表：龙贝格算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2T32S16C8R4.................................................上面是Romberg的计算表若则计算停止龙贝格算法或龙贝格算法解：用Romberg方法计算积分近似值例3例题3例题3例题3f[x_]:=Sin[x]/x;a=0;b=1;f[0]=1;f[1]=0.8414709;h[k_]:=(b-a)/2^k;T[0,0]=(b-a)/2*(f[a]+f[b]);T[0_,k_]:=1/2*T[0,k-1]+h[k]*Sum[f[a+h[k]*(2i-1)],{i,1,2^(k-1)}];N[Table[T[0,k],{k,0,3}],6];MatrixForm[%]T[m_,k_]:=(4^m*T[m-1,k+1]-T[m-1,k])/(4^m-1);N[Table[T[m,k],{m,1,3},{k,0,2}],7];MatrixForm[%];N[Table[T[1,k],{k,0,2}],7];MatrixForm[%];N[Table[T[2,k],{k,0,1}],7];MatrixForm[%];N[T[3,0],7]算法将余项泰勒展开外推法的一般讨论外推法此处理方法称为理查森(Richardson)外推加速方法。外推法主要内容：1:梯形法的逐次分半算法2:龙贝格算法3:外推法的一般讨论本节小结
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