连续弹性体的振动

第四章连续弹性体的振动实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行器（导弹，火箭结构），细长比大于4时可用连续的变截面梁模型描述，小于4时可用弹簧质量块模型描述。本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板的横向振动等常用的典型情况。4.1直杆的纵向自由振动4.1.1直杆纵向振动微分方程假设：1）杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。2）纵向运动过程中，略去杆的纵向伸缩而引起的横向变形。对任一横截面的纵向位移u都可写成关于x和ux,t??t的函数以杆左端为坐标原点建立坐标系，在坐标为x处取一微元段dx，在任一时刻t，微元段两端的位移和截面内力如下：ux,t??，在x?dx处位移在x处，截面位移为?u?u?uu?dxdx??dx为的绝对变形为?x，应变?x则?x。在x截面上内力为?uN??A?x??A?x??E??EA?x??x由牛顿第二定律?u?N?N??x?A?x??dx?2?N?dx?N?dx?t?x?x???u??E??A??x??x??x?2对于等截面的杆，由同种材料构成的A?x??A，??x????u?u?A2?EA2?t?x?uE?u2?u??a222?t??x?x22222该方程为一维波动方程，a为纵波在杆内的传播速度。方程可用分离变量的方法求解u?x,t??U?x?T?t?代入波动方程以后有?u''?u''?TtUx?????UxTt????22，?x?t22aTU?UTT2U?aTU''''2''''左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数，若使它们相等只有等于一个常数设为?T''''T?a2UU??T''??T?0U''??a2U?0只有?为负数才能确定振动运动，所以不妨设为????2，这样有T''??2T?0?2U''?????a??U?0T?t??Csin??t?????????U?x??Asin?x??Bcos?x??a??a?则有u?x,t??T?t?U?x?'???'?'??Asinx?Bcosx?sin??t???aa??'这里A,B,?,?为待定常数，由边界条件和初始条件确定。Ux??相当于在x处截面（质点）的振动的其中Ux??也称振型函数。振幅，则几种典型的边界条件（1）固定端该处纵向位移为零。u?x,t??0，x?0,l。（2）自由端该处横向内力为零。?uN?EA?0x，?x即?0,l?u?x,t??0x，?x?0,l(3)弹性支承杆的一端是弹性支承，设为右端。此处轴向内力等于弹性力。?u?l,t?EA??ku?l,t??x（4）惯性载荷一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。?u?l,t??u?l,t?EA??M2?x?t24.1.2两端固定分别代入解 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式u?0,t??u?l,t??0'u?x,t??(Asin'?ax?Bcos'?ax)?sin??t???u?0,t??Bsin??t????0'sin?t????由于不恒为零，故定有B?0u?l,t??Asin'?al?sin??t???同理，由于A和sin??t???都不恒为零，所以有'边界条件确定了频率方程，频率是未知的。sin?la?0?la??0舍去（导致振型函数为零，不振动）。所以n?a?n?(n?1,2,3...)l有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。如对?n有?0,?,2?,3?,...?n?(n?1,2,3...)n?axn?'Un?x??Asinx?Asin??Ansinxalal'n'n?n画出振型图，就是各点的振幅。1阶?1?U1?x??Asin'1?xll?l?'x?,U1???A12?2?2?x?2?U2?x??Asin2阶l'2ll?l??l?'x?,U2???0，x?,U2???A224?2??4?3l?3l?'x?,U2????A24?4?显然第n个振型有n-1个节点。对每一阶主振动都求出一个固有频率，对第n阶主振动有n?un?x,t??Asinx?sin??nt??n?l系统的自由振动是n阶主振动的叠加'nn?u?x,t???Asinx?sin??nt??n?ln?1'?Bn其中与n由初始条件确定。?'n4.1.3两端自由?u?x,t?dU?0?xdxx?0，也就是，x?lU?x??Asin'?0x?0x?l?ax?Bcos'?ax?axU?x??A''?acos'?ax?B'?asinU?0??0?A'?a?A?0'U?l???B''?a?sin?al?0sin?al?0B不恒为零，所以'sin?al?0??la?n?,n?0,1,2...n?a?n?l代入振型函数为n?Un?x??Bcosx?Bcosxal'n'n?n对应的第n阶主振动为n?un?x,t??Bcosx?sin??nt??n?l注意：?可以为零，与两端固定不同，当??0时'nU?x??B，意味着各点振幅完全一样，对应杆的'n纵向刚性位移。4.2圆轴扭转假设:1）每一横截面，绕通过截面形心的轴线转动一个角度，截面保持平面;2）截面上每一个点都转动相同的角度。扭转振动位移用?表示。由材料力学可知??Mt?GJp?xG——剪切弹性模量，Jp——截面的极惯性矩由达朗贝尔原理?Mt??Mt?dx?Mt??Jp2dx?0?x?t2????GJp?2??Jp2?x?t22?2?22?t2?G????x2?a2????x2a——剪切波在杆内传播速度边界条件：1）固定端??x,t??0,x?0,2）自由端???x?x,t??0,x?0,转角为零扭矩为零（3）弹性支承k??2??,t???GJp?,t??X(4)右端有一惯性圆盘，则有????Jo2?,t???Jpd?,t??t?xJ圆盘对称轴转动惯量o4.3梁的弯曲振动4.3.1梁的横向振动微分方程研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10），有纵向对称平面。振动运动过程中，假设：1）梁的轴向位移可以忽略2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略3）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形中截面上的x点，取微元段为M(x,t),Q(x,t)?QQ(x?dx,t)?Q(x,t)?dx?xM(x?dx,)t??QM(x,?)t?xdx外载：q(x,t)为分布载荷，在一个微段内可假设为均匀分布的，即可化为q(x,t)dx惯性力：已知单位长度的质量2m?x??A?x????x?，?y?x,t?m?x??dx?f?x,t?2则微元段上的惯性力为?t，且在微段上可认为惯力是均布的。外载和惯性力均可认为是作用在中点上达朗贝尔原理：?QQ(x,t)?q(x,t)dx?(Q(x,t)?dx)?f(x,t)?0?x?Qq(x,t)dx?dx?f(x,t)?x2?Q?y??(x)A(x)2?q(x,t)?x?t?y?x,t??M?Q(x,t)M?x,t??EI?x?2?x?x,2???y??yEI(x)??(x)A(x)?q(x,t)??222?x??x??t2224.3.2梁的自由振动分析?y?yEI4??A2?0?x?t?2yEI?4y??024?t?A?x242?y2?y?a?024?t?x采用分离变量的求解思路,,4y?x,t??Y?x?T?t??ydT?Y(x)22?tdt2422?4yd4y?T(t)44?xdxdTdy2Y?x?2?aT?t?4?0dtdxdy1dT???42Y?x?dxT?t?dta242adYdT2????42YdxTdt2dT2??T?02dt自由振动的解为：242T(t)?Cisin(?t??)424dY?dY4?Y2?4?kY?04dxadxY(x)?Asin(kx)?Bcos(kx)?Csh(kx)?Dch(kx)y(x,t)?{Asin(kx)?Bcos(kx)?Csh(kx)?Dch(kx)}sin(?t??)六个任意数由初、边界条件决定.典型边界条件:（1）简支（铰支）点简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：Y?x,t??0,x?0或2?y?x,t?M?x,t??EI?0,x?0或2?x(2)固支点固支点处转角、位移均被锁住，为零?yx,t?0??y?x,t??0?xx?0或（3）自由端力与力矩均为零?yM?EI2?0x?0,?x?M?yQ??EI3?0?x?x32x?0,（4）梁端有弹性支承弹性梁端剪力等于弹性恢复力,弹性恢复力与位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,梁端弯矩为零.?y?yEI3?,t??k?y?,t?EI2?,t??0?x?x,32梁端弯矩与弹性恢复力矩大小相等，但由于前图是梁右端，端部弯矩方向是规定的正向（转角位移的正向，逆时针），而恢复力矩与转角位移正向相反，所以?y?yEI2(l,t)??k(l,t)?x?x梁端剪力为零2?yEI3?0?x3（5）梁端有集中质量力梁端弯矩为零?Y?,t?EI?022x梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移正向相反，所以二者同号2?y?yEI3?,t??M?2?,t??x?t对位移或转角施加的约束称为几何边界条件。对剪力和弯矩施加的约束称为力边界条件。前三种称为基本边界条件，后两种为非基本边界条件。324.3.2两端固定y(x,t)?{Asin(kx)?Bcos(kx)?Csh(kx)?Dch(kx)}sin(?t??)?y??Akcoskx?Bksinkx?Ckchkx?Dkshkx?sin??t????x?y?0,t???B?D??sin??t????0??y?,t???Asink?Bcosk?Cshk?Dchk?sin??t????0??y??0,t???AK?CK?sin??t????0??x??y??,t??k?Acosk?Bsink?Cchk?Dshk??sin??t????0??xB+D=0,A+C=0将B=-D,A=-C代入另两个方程得到：(shkl?sink)C?(chkl?coskl)D?0(chkl?coskl)C?(shkl?sinkl)D?0C,D不能同时为零，则有shk?sinkchk?cosk22chk?cosk?0shk?sinkchx?shx?1注意到，则上式变为cosk?chk?1这是一个频率方程，其中k=0的解对应于静止状态。k超越方程的数值解或作图法，得一系列i的值i12345?i?kil4.737.85310.99614.13717.2792i??i?k???i?k?a????a??21EIi2a??l?A2i?i2回代可求C与D比值为chki?coski?C?????shki?sinki?D?ishki?sinki????ichki?coski代入解的表达式有?yi?x,t???Cshkx?sinkx?Dchkx?coskxsin?t????????iiiiii????Di??shkx?sinkx?chkx?coskxsin?t??????iiiiiii??Yi?x?Yi?x?为梁上第x点的振幅，称为第i阶振型函数?i称为第i阶固有频率,yi?x,t?第i阶主振动4.4板的横向自由振动本节讨论的板为弹性薄板，其变形为小变形（微振动），因此要满足薄板小变形的一切假设，如直法线假设等。4.4.1矩形板的横向自由振动如图所示一等厚度矩形薄板，其厚度为h，边长各为a和b。对应坐标轴x，y，z方向的位移为u，v，w。根据弹性理论知，矩形板的平衡方程为?w?w?wq?x,y??222?4?4?x?y?yD?x444或简写为??w?q?x,y?D22其中????(2?2)?x?y——微分算子；222qx,y??——作用在板表面上的垂直分布载荷的分布集度；EhD?212?1???——板的弯曲刚度；3——材料的弹性模量和泊松系数。当板作自由振动时，在板上没有外加载荷，但是根据达朗贝尔原理，我们可以将板振动时的惯性力当作外加载荷，这样仍可用平衡方程.E?、板单位面积上的惯性力为：?wq(x,y,t)???h2?t代入平衡方程得2??w??22?h?wD?t22设??D?h，则矩形等厚度板的自由振动微分方程变为1?w??w??22??t222上式为四阶齐次偏微分方程，仍用分离变量法解之。w(x,y,t)?W?x,y?T?t?代入自由振动微分方程后，得两个方程dT2??T?02dt2?22??W?2W?0?第一个方程解可写为2T(t)?C1sin(?t??)第二个方程的解与边界条件有关。(1).四边铰支板铰支条件为：边界处的横向位移及弯矩为0W?W?0，?x2?0（当x=0与x=a时）2W?2W?02?0，?y（当y=0与y=b时）满足运动方程和边界条件的解可设为m?xn?yW?x,y??Amnsin()sin()ab（m,n?1,2,3,...）将上式代入第二个方程后得m?4m?2n?2n?4?()?2()()?()?2aabb?2从中解得固有频率?mn??2D?mn??2?2??h?ab?22四边铰支板的通解可以写为??m?xn?y'w?x,y,t??Amnsin()sin()sin(?mnt??mn)??abm?1n?1m,n?1,2,3,...当m=1与n=1时得到最低阶的固有频率及主振型，图4-11（a）。图4-11（b）表示m=2与n=1时主振型，其中的直线振动时位移始终为0，称它为节线。m=1与n=2时主振型与其类似。（2）其它边界条件除了铰支边界条件以外，还有固支和自由边界条件及其它边界条件。固支边界条件:在边界处的位移和转角为0，可以写为?WW?0，?x?0（当x=0与x=a时）?W?0W?0，?y（当y=0与y=b时）自由边界条件:其在边界处的弯矩和剪力为0，可以写为?W?W?3W?3W??2?0??2????0232?x?y?x?y，?x22（当x=0与x=a时）?W?W?W?W?2???0?????03222?x?y，?y?y?x2233（当y=0与y=b时）对于这些边界条件，同样可以解出固有频率和主振型。但大多数情况下都不能用一个显函数来表示固有频率，都需要解一个比较复杂的方程，工程应用不方便。一般做成 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 ，在工程手册上可以查到（如机械工程手册第21篇）。例如对边长为a的正方形板，其固有频率公式为?i??ia2D?h对于四边固支的正方形板，从手册中可以查出?1?35.99，?2?73.41，?3?108.27其振型也可以从手册查到，对应上述三个频率的振型见图4-12（a）、（b）、（c）。4.4.2圆板的横向自由振动对于圆板来说，一般采用圆柱坐标系r,?,z，u,v,?对应位移为,自由振动方程与方板一样??w??222?h?wD?t222根据坐标变换，微分算子变为?1?1???2??22?rr?rr??2方程解设为w?r,?,t??W?r,??T?t?将上式代入运动方程后可得?2?(??)(??)W?0??2可得到两个方程，它们可以写为下面的形式?W1?W1?W???W?0222?rr?rr???设上述方程的解为22W?r,???R?r?sin(n?)代入后得?dR1dR?n??(?2)R?0?2drrdr?r??22dR1dR?n???(?)R?022?drrdr?r?22上述方程具有贝塞尔（bessel）函数解????R?r??AnJn()r?BnNn()r?CnIn()r?DnKn()r????利用边界条件可以解出固有频率和主振型。对于实心圆板，其固有频率都可以表达为下面的公式???nsR2D?h其中R为圆板半径，系数?ns值和边界条件有关。对周边固定的圆板，该值列于表4-2，其中n表示径向节线数，s表示环向节线数。从表中可以看出板的固有频率是比较密集的，远不像梁的固有频率那样相距较远，表中前六个振型如图4-13所示。表4-2nS012关于连续弹性体的基本构件除了杆、梁、板之外，还有曲杆、曲板或壳、三维弹性体等等。对这些构件振动的研究方法与本章前述例子相同，只是它们的振动微分方程更复杂一些罢了，但是振动的基本特性是相同的，所以就不一一列举了。10.2139.7888.9021.2261.00120.5634.8488.36158.760124.5梁的主振型的正交性??22?x2??EI?x??y??y?x2???m?x??t2?0求出任意两对特征值和对应的振型函数2?2i,Yi?x?,?j,Yj?x?[EI(x)Y2i(x)]??im(x)Yi(x)?0[EI(x)Y2i(x)]??im(x)Yi(x)?01）2）（（（1）式乘Yj?x?dx然后在0?x?上对x积分2i?l0Yj(x)[EI(x)Yi(x)]dx??l0?l0m(x)Yi(x)Yj(x)dx??Yj(x)d[EI(x)Yi(x)]'?Yj(x)[EI(x)Yi(x)]'??[EI(x)Yi(x)]'dYj(x)0ollll'?Yj(x)[EI(x)Yi(x)]'??Yj(x)d[EI(x)Yi(x)]00?Yj(x)[EI(x)Yi]'?Y(x)EI(x)Yi(x)??EI(x)Yi(x)Y(x)dx000l'jllj对（2）式乘Yi?x?dx，然后在0?x?上积分l2lY(x)[EI(x)Y(x)]dx??m(x)Y(x)Y(x)dxijjji?0?0?Yi(x)[EI(x)Y(x)]?Yi(x)EI(x)Y??EI(x)Yi(x)Y(x)dx000jl'jllj方程左右两端分别相减得??2i??2j??m?x?Y?x?Y?x?dx?0oij得到关于单位长度质量的加权正交性?om?x?Yi?x?Yj?x?dx?0注意基本边界条件项两两组合后均为零，得到lEI(x)Y(x)Y(x)dx?0ij?0当i?j时，令?om?x?Yi?x?Yi?x?dx?Mi?l0EI(x)Yi(x)Yj(x)dx?Ki由上面任一个方程均可以得到?2i?Ki/Mi当梁的边界条件会有非基本边界条件的情况，振型函数的正交关系需要修正。4.6固有频率的近似解法4.6.2里兹法里兹法建立在哈密顿（Hamilton）变分原理基础上，将变分问题转换为求多个变量函数的极值问题。对无阻尼自由振动，哈密顿原理的表达式?S????T?U?dt?0t1t2其中T和U分别表示系统的动能和势能。对于谐振动，若积分区间选为一个周期，则上式可变为?S???Tmax?Umax??0这是一个关于振型函数的泛函变分问题。假设振型函数为一系列已知函数的线性组合，即u?x,y,z??aiui?x,y,z?i?1nux,y,z??i其中必须满足几何边界条件，称它为坐标函数，是待定参数，也就是广义坐标。则原来关于振型函数的泛函S蜕化为关于参数的函数，泛函变分求极值问题，变为函数求极值问题。应有?S?0?aiTmax?i?1,2,...,n?nnnijijijiji?1j?1aaTUimaxmax由于是广义坐标，所以和都应是i的二次型函数，即S?a1,a2,...,an???2??maa???kaai?1j?1n用梁的横向振动来证明此式。S?Tmax?Umaxl2122''??T0??A?Y?x??EJ?Yxdx????40????其中T0为谐振动的周期。设振型函数为一系列已知函数Y1?x?，Y2?x?，…，Yn?x?的线性组合，即Y?x???aiYii?1n其中Yi?x?必须满足几何边界条件。将上式代入即可得到二次型函数nnnn??l12S?T0????mijaiaj???kijaiaj?mij??AYYdxij?o4?i?1j?1i?1j?1?l''''kij??EJYiYjdxoa对上式求偏导得到一组关于i的线性代数方程组2k????ijmij?aj?0j?1n22上式中若要求有非0解，则要求系数行列式等于零k11??m1122k12??m1222...k1n??m1nk21??m21k22??m22...k2n??m2n?0............................................................kn1??mn12kn2??mn22...knn??mnn22?上式即为关于的频率方程，从中可以解出的n个根就是系统固有频率的近似解。可以求出关于aj的n组比值，从这n组比值可得到关于Y?x?的n组振型，这就是系统的近似主振型例4-3用里兹法求图所示的固有频率。梁具有单位厚度。解:楔型梁的横截面积为xxA?x??2b??1?A0ll其中A0为根部横截面积。梁的截面惯性矩为1?x?xJ(x)??2b??1?J0312?l?l取振型函数为33,13J0??2b??112?x??x?xY?x??a1Y1?x??a2Y2?x??a1?1???a2?1????l??l?l22EJ0x22k11??E(J03)(2)dx?3olll3l2EJ0x26x4k12?k21??E(J03)(2)(3?2)dx?3ollll5l3l2EJ0x6x42k22??E(J03)(3?2)dx?3olll5ll?A0lxx4m11???(A0)(1?)dx?oll30l?A0lxx4xm12?m21???(A0)(1?)dx?olll105l?A0lxx4x2m22???(A0)(1?)()dx?olll280l3频率方程为EJ02?A0l??3l302EJ02?A0l??35l105解此方程的第一个根为2EJ02?A0l??35l105?02EJ02?A0l??35l2805.319?1?2lEJ0?A0EJ0?A05.315?1?2l精确解:第二阶频率误差较大，若要使第二阶固有频率值得到较好的结果，一般需要选坐标函数（假设振型）的数目在四个以上。5.319?5.315???100%?0.075%误差:5.3154.3.6伽辽金法伽辽金法也是建立在哈密顿变分原理基础上的另一种近似计算方法。这种方法不需要计算振动系统的动能和势能，而直接从振动微分方程出发。下面仍以梁的横向振动为例来说明该方法。设中性轴横向变形为y(x,t),设梁的自由振动解为yx,t?Yxsin(?t??)????利用由Hamilton变分原理得到的变分式?得到l0[(EJy??)????Ay?q]?ydx?0[(EJY??)????A?Y]?Ydx?02?l0如果选取n个已知函数Yi?x?满足全部边界条件，则作为近似解可令Y?x???aiYi?x?i?1na其中i为待定系数。将上式求变分得ln?Y??Yi?aii?1''''2n将上两式代入变分式?o[(EJ?ajYj)??A?j?1?aY]?Y?adx?0jjiij?1i?1nn整理后得(k??i?1j?1nn'ij??mij)aj?ai?0l2其中mij???AYYijdx,olk??Yi(EJYj)dxo'ij''''a因为i相当于独立的广义坐标，它的变分?ai是任意的，所以可得到下列线性代数方程组?(kj?1n'ij??mij)aj?02i?1,2,...,n??由上述方程组可得频率方程，为行列式k??m112k??m21k??m22...k??m2n?0............................................................k'??2mn1n1'11'212k??m122'12'222...k??m1n2'1n'2n2k??mn2'n22...k??mnn'nn2解上述频率方程可以得到n个固有频率和n个广义振型（在广义坐标ai下的振型）。例4-4再用伽辽金法计算例题4-3的楔形梁的固有频率。解仍然假设振型为例4-3所设的振型x?x??x?Y?x??a1Y1?x??a2Y2?x??a1?1???a2?1??l?l??l?3lEJ0x2''x2'k11??E[(J03)(2)](1?)dx?3ollll3l2EJ0x2''xx2''k12?k21??E[(J03)2](1?)dx?3ollll5l3l2EJ0x23xx2'''xk22??E[(J03)2(?2)](1?)dx?3olllll5l与例题4-3'1222k?k11，的里兹法相比较，得到'22'11k?k12，k?k22，计算m11，m12，m22的公式，两种方法完全相同，所以得到的结果与里兹法计算的结果相同。4.7连续系统的动响应?2?x2??y??y?EI?x??x2??m?x???t2?q?x,t???22y?x,t???Yi?x?qi?t?i?1?代入方程，方程两边同乘2?Yj?x?dx并在0?x?上积分???''EI?x??Yi?x??qi?t???m?x??Yi?x?qi?t??q?x,t?2??x?i?1i?1????''YxEIxYx?qtdx?YxmxYxqtdx??????????????????jiijii2???0?0?x?i?1i?1?2?????Yj?x??q?x,t?dx0????i?1l0(Yj(x)[EI(x)Yi??(x)]??dx)qi(t)??i?10????m(x)Y(x)Y(x)dx)?q(t)l0jii??Yj?x??q?x,t?dx?Yj0?Yjx?其中：l0(Yj(x)[EI(x)Yi??(x)]??dx)''''''l'''?'???????x?d?EI?x?Yi?x???Yj?x??EI?x?Yi?x????0?EI?x?Yi?x??Yj?x?dx0?EIxYx???????i??'''l??Y?x???EIxYx?EIxYxYx?dx??????????iiij???000'j''''''l基本边界条件的两两组合为零，由正交性最终得Mjqj?t??kjqj?t??pj?t?假设原问题的初始条件为y?x,0???qi?0?Yii?1??x??f?x??y?x,0???qi?0?Yi?ti?1方程每边分别乘积分有?mqi0Yixi?1??x??g?x?并在0?m?x?Yj?x??dxx?上?0??????x??Yj?x?dx??0m?x?Yj?x?f?x??dx?q?0???Y?x?Y?x?m?x??dx?fii?10ij?jMjqj?0??fj?qj?0??fjMj同理Mjqj?0??gj??m?x?Yj?x?g?x?dx0qj(0)?gj/Mj上述步骤涉及到如下积分通常较难，可借助于数值积分。pj(t)??Yj(x)q(x,t)dx0l例1：均匀简支梁在x=x1处作用有正弦集中力psin?t，梁初始静止。解：简支梁的固有频率和振型函数分别为（教材p82）?2??i??EI??i????????A???Yi?x??sini??x集中力可写为分布力的形式p(x,t)?psin(?t)?(x?x1)pi(t)??Yi(x)p(x,t)dx0l??li?psin?t?(x?x1)sinxdx0?p?sin?tsini?x1简支梁解响应表达式?y?x,t???Yii?1l?x?qi?t?Miqi?t??kiqi?t??pi?t?Mi???A?Yi?x?dx20??A?sin02i?1?2i?xdx??A??1?cos02??x?dx?1??A22i1ki???Mi??A2?i???????2EI?Aqi?t???q?t??psin?t?sin2ii?2x1?A?2pi?????sinx1??sin?t?A??i?x12psin???qi?t??sin?t?sin?t??i22?i?A?i????得??求和的第一项是自由振动部分（由激励力激起的，实际系统不可避免存在阻尼，变成只剩下稳态响应部分）i?1i?1y?x,t???Yi?x?qi?t???sin??i?x?qi?t?例2：自由端由静止状态从高为h处跌落到轴点上设碰撞之前梁作刚体运动设有能量损失，接触与乘后无反弹，求此后梁的自由振动方程。解：势能完全转化为动能是撞击时刻刚体转动角速度?Mgh/2?I?/2212I?ML,??3Mgh3gh?IL则梁上各点的初速度、初位移分别为?y?x,0???xy?x,0??0?t，?简支梁的响应为y?x,t???sin?i?x?Aisin??it??i?i?1??sini?1?i?x?cisin?it?Dicos?it??yi?x?x,t???sin?ci?icos?it?Di?isin?it??ti?1i?xy(x,0)??Disin?0Li?1n对任意x上式均成立，则有Di=0i?xy(x,0)??ci?isin??xLi?1n?L0Lj?xi?xj?xsinci?isin???xsindx?0Li?1LL?由振型正交性i?xi?12?Ly?x,t???sinsin?it??1?Li??ii?12?ci?L?i??0x?sini?xdx???1?i?12?Li??i