3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标(zuòbiāo)
表
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示第一页，共24页。课标
要求
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素养达成1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.通过对空间向量正交分解及其坐标表示的学习,培养学生的思维能力,提高学生的直观想象、空间思维能力.第二页，共24页。新知探求(tànqiú)素养养成知识点一空间向量(xiàngliàng)基本定理第三页，共24页。梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=.其中(qízhōng){a,b,c}叫做空间的一个,a,b,c都叫做.xa+yb+zc基底(jīdǐ)基向量(xiàngliàng)第四页，共24页。知识点二空间向量(xiàngliàng)的正交分解及其坐标表示如图(2)所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,在AB,AD,AA1上分别(fēnbié)取单位向量e1,e2,e3.第五页，共24页。梳理 (1)单位正交基底有公共起点的三个的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以(kěyǐ)把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=.两两垂直(chuízhí)(x,y,z)第六页，共24页。题型一空间(kōngjiān)向量基本定理的理解课堂探究(tànjiū)素养提升【例1】若{a,b,c}是空间一个基底(jīdǐ),试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底(jīdǐ).解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c.因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面.所以此方程组无解.所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.第七页，共24页。一题多变:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为(zuòwéi)空间的一个基底.解:假设a+b,a-b,c共面,则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b,从而由共面向量知c与a,b共面,这与a,b,c不共面矛盾.所以a+b,a-b,c不共面,即能作为空间的一个(yīɡè)基底.第八页，共24页。方法技巧判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面(zhèngmiàn)难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.第九页，共24页。第十页，共24页。题型二空间(kōngjiān)向量基本定理的应用第十一页，共24页。第十二页，共24页。方法技巧(jìqiǎo)(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.(2)若没给定基底,首先要选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.第十三页，共24页。第十四页，共24页。第十五页，共24页。题型三空间向量的坐标(zuòbiāo)表示第十六页，共24页。第十七页，共24页。方法技巧(jìqiǎo)用坐标表示空间向量的方法步骤(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.(2)根据图形特征建立空间直角坐标系.(3)用基底表示向量.(4)确定向量的坐标.第十八页，共24页。第十九页，共24页。第二十页，共24页。第二十一页，共24页。第二十二页，共24页。谢谢(xièxie)观赏！第二十三页，共24页。内容(nèiróng)
总结
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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示。如图(2)所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,在AB,AD,AA1上分别取单位向量e1,e2,e3.。两两垂直。(x,y,z)。从而(cóngér)由共面向量知c与a,b共面,。这与a,b,c不共面矛盾.。(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.。谢谢观赏第二十四页，共24页。
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