因式分解典型例题

典型例题一例01选择题：对2mmpnp2n运用分组分解法分解因式,分组正确的是（）(A)(2m2nnp)mp(B)(2mnp)(2nmp)(C)(2m2n)(mpnm)(D)(2m2nmp)np分析本组题目用来判断分组是否适当•（A的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.（C）中第一组可提取公因式2,剩下因式（mn）；第二组可提取p，剩下因式（mn），这样组间可提公因式（mn），故（C正确.典型例题二例02用分组分解法分解因式：（1）7x23yxy21x；（2）1x24xy4y2.分析本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型,通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.解⑴7x23yxy21x2（7x221x）（3yxy）（合理分组）7x（x3）y（x3）（组内提公因式）（x3）（7xy）（组间提公因式）⑵1x24xy4y2221（x24xy4y2）（注意符号）1（x2y）2（组内运用公式）1（x2y）1（x2y）（组间运用公式）（1x2y）（1x2y）说明分组分解法应用较为灵活,分组时要有预见性,可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组,达到分解的目的.另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种,只要能达到分解法时,殊途同归.②分组时要添加带“―”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步典型例题三例03分解因式：5x315x2x3分析本题按字母x的降幕排列整齐，且没有缺项，系数分别为5,15,1,3.系数比相等的有—1或—15，因而可分组为(5x3x)、(15x23)或(5x315x2)、(x3).15313解法一5x315x2x3(5x315x2)(x3)(学会分组的技巧)25x(x3)(x3)2TOC\o"1-5"\h\z(x3)(5x1)解法二5x315x2x3(5x3x)(15x23)x(5x21)3(5x21)(5x21)(x3)说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四2例04分解因式：7x3yxy21x分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解•见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一7x23yxy21x(7x221x)(3yxy)7x(x3)y(x3)(x3)(7xy)解法二7x23yxy21x2(7xxy)(3y21x)x(7xy)3(7xy)(x3)(7xy)说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解•要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解•本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度典型例题五例05把下列各式分解因式：22(1)xyxzy2yzz；a2b2c22bc2a1；(3)x24xy4y22x4y1.分析此组题项数较多，考虑用分组法来分解.解法(1)xy2xzy2yzz(xyxz)(y22yzz2)x(yz)(yz)2(yz)(xyz)(2)a2b2c22bc2a1(a22a1)2(b22bcc2)22(a1)2(bc)2(a1bc)(a1bc)x24xy4y22x4y122(x24xy4y2)(2x4y)12(x2y)22(x2y)12(x2y1)2说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.女口⑴中，“交叉项”为2yz，相应的平方项为y2、z2；⑵中，“交叉项”为2bc，相应的平方项为b2、2c.典型例题六例06分解因式：22(1)a25a6；(2)m23m10.分析本题两例属于x2(pq)xpq型的二次三项式,可用规律公式来加以分解解(1)6(2)(3),(2)(3)5,2a5a62a(23)a(2)(3)(a2)(a3)(2)1025,253,2m3m102m5(2)m(5)(2)(m5)(n2).说明抓住符号变化的规律，直接运用规律.典型例题七例07分解因式：(1)(ab)22⑷a24b2a2b4bcc2c5(ab)4；22(2)p27pq12q2.分析对(1),利用整体思想，将(ab)看作一个字母，则运用x2(pq)xpq型分解；对(2),将其看作关于p的二次三项式，则一次项系数为7p，常数项为I2q2，仍可用x2(pq)xpq型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.解(1)(ab)25(ab)4(ab1)(ab4)(2)12q2(3q)(4q),3q(4q)7q,2p27pq12q2p27pq12q2(p3q)(p4q).典型例题八例08分解因式：⑴x43xx1；⑵p25pq6q2p3q；⑶a(a1)(a1)b(b1)(b1)；分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解解⑴法一：x4x(x31)(x1)(x1)(x2x1)(x1)⑵p25pq6q2p3q222(p5pq6q)(p3q)(看作x(ab)xab型式子分解)(pq)(p3q)(p3q)(p3q)(pq1)⑶a(a1)(a1)b(b1)(b1)a(a1)b(b1)33aabbx143(x4x3)(x1)x3(x1)(x1)(x1)(x31)(x31可继续分解，方法很简单：(x3x)(x1)，对于x31方法类似，可以自己探索)(x1)(x1)(x2x1)法二：x4x3x143(x41)(x3x)222(x21)(x21)x(x21)22(x21)(x21x)(x1)(x1)(x2x1)法三：x4x3x143(x4x)(x31)33x(x31)(x31)3(a3b3)(ab)(ab)(a2abb2)(ab)(ab)(a2abb21)⑷a24b2a2b4bcc2c2a(4b24bc2c2)(a2bc)a2(2bc)2(a2bc)a(2bc)a(2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc)(a2bc1)说明⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用222了x(ab)xab型二次三项式的因式分解.将p5pq6q看做关于p的二次三项式22226q22q3q，p25qp6q2p2(2q3q)p2q3q.⑶式 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面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义•如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法•②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中p25pq6q2.典型例题九例09分解因式：(1)x(x1)(x2)6；(2)ab(x21)x(a2b2)分析本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解•解⑴x(x1)(x2)6x(x23x2)632x33x22x6(乘法运算，去括号)32(x33x2)(2x6)(重新分组)x(a1)(a2a6)(a1)(a2)(a3)说明当a1时，多项式a37a6值为o，因而(a1)是a37a6的一个因式，因此，可从“凑因子”(a1)的角度考虑，把6拆成17，使分组可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.法二：a37a6(x3)2(x3)(x3)(x22)⑵ab(x21)x(a2b2)abx2aba2xb2x(乘法运算去括号)222(abx2a2x)(abb2x)(重新分组)ax(bxa)b(bxa)(axb)(abx)说明“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.典型例题十例10分解因式aa3a6a67a6分析因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法)”.即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”(或十字相乘法)分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.解a37a6a37a17(a31)(7a7)(a1)(a2a1)7(a1)2(a1)(a2a17)z3(a3a)(6a6)a(a21)6(a1)a(a1)(a1)6(a1)(a1)(a2a6)(a1)(a2)(a3)法三：3a7a6a37a814z3(a8)(7a14)(凑立方项）(a2)(a22a4)7(a2)(a2)(a22a47)(a2)(a22a3)(a2)(a1)(a3)法四：a37a63a7a27231（与a3凑立方项）/3(a327)(7a21)(a3)(a3a9)7（a3）（套用(a3)(a3a97)(a3)(a3a2)(a3)(a1)(a2)法五：3a7a63a4a3a6（拆7a项)(a34a)(3a6)a(a24)3(a2)3aa(a2)(a2)3(a2)3b公式）(a2)(a22a3)(a2)(a1)(a3)法六：a37a6a39a2a6（凑平方差公式变7a项）3(a39a)(2a6)a(a29)2(a3)a(a3)(a3)2(a3)(a3)(a23a2)(a3)(a1)(a2)法七：令ax1则（a1为多项式一个因式，做变换xa1）a7a6(x1)7(x1)63x3x23x17x76(做乘法展开）3x3x24xx(x23x4)x(x1)(x4)(x11)(x12)(x13)(a1)(a2)(a3)(还原回a）说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.本题还可以如下变形：a37a6=(a3a2)(a27a6)a2(a1)(a1)(a6)=典型例题十例11若4x2kx25是完全平方式，求k的值.2222分析原式为完全平方式，由4x2（2x）2，2552即知为（2x5）2，展开即得k值.解4x2kx25是完全平方式应为(2x5)2又(2x5)24x220x25，故k20.说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的222逆向思维类，运用a22abb2(ab)2来求解.典型例题十二例11把下列各式分解因式：(1)x28x16；(2)a414a2b349b6(3)9(2ab)26(2ab)1解：(1)由于16可以看作42，于是有222x28x16x22x442(x4)2；由幕的乘方公式，a4可以看作(a2)2，49b6可以看作(7b3)2，于是有4236222332a414a2b349b6(a2)22a27b3(7b3)2232(a7b)；由积的乘方公式，9(2ab)2可以看作[3(2ab)]2，于是有9(2ab)26(2ab)12[3(2ab)]223(2ab)112[3(2ab)1]22(6a3b1)2说明(1)多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数.而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.(2)在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.典型例题十三例12求证：对于任意自然数n，3n22n33n2n1一定是10的倍数.分析欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式n2n3nn1证明3n22n33n2n1(3n3n)(2n32n1)3n(321)2n(232)3n102n1010(3n2n)10(3n2n)是10的倍数，3n22n33n2n1一定是10的倍数.典型例题十四例13因式分解（1）a2xa2yb2xb2y；22)mxmxnnx解：(1)a2xa2yb2xb2y(a2xa2b)(b2xb2y)a2(xy)b2(xy)(xy)(a2b2)或2222axaybxby(a2xb2x)(a2yb2y)x(a2b2)y(a2b2)(a2b2)(xy)；22)mxmxnnx(mxmx2)(nnx)mx(1x)n(1x)(1x)(mxn)或mxmx2nnx(mx2nx)(nxn)x(mxn)(mxn)(mxn)(x1)说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性；（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组 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，会使分解过程简单；3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；(4)实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解典型例题十五例14把下列各式分解因式：1)a34ba(x1)(x2x1x)a2b；(2)x22a2abb3)ax2ax2axa解：(1)2a4b2a2b(2a4b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b1)2)2x2a2abb2x2(a22abb2)x2(ab)2[x(ab)][x(ab)](xab)(xab)3)3ax2axaxaa(xa(x1)(x21)说明：(1)要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，x2a22abb2(x2a2)(2abb2)(xa)(xa)b(2ab)，就会分解不下去了；x2x1)a[(x3x2)(x1)]a[x2(x1)(x1)]a(x21)(x21)或3ax2axaxaa[(x3x(x21)]a(x21)(x1)或3ax2axaxaa[(x31)(x2x)]a[(x1)(2xx1)x(x1)](2)有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；(3)对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。典型例题十六例15把下列各式分解因式22(1)x2x2；(2)x22x15.分析(1)x2x2的二次项系数是1，常数项2=(1)2，一次项系数1=(1)2，故这是一个x2(pq)xpq型式子•(2)x22x15的二次项系数是1，常数项15=(5)3，一次项系数2(5)3，故这也是一个x2(pq)xpq型式子•解：(1)因为2=(1)2，并且1=(1)2，所以2x2x2=(x2)(x1).(2)因为15=(5)3，2(5)3，所以2x22x15=(x5)(x3)•说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律：(1)常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同•(2)常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同•典型例题十七例16将m2x22mx35分解因式分析：此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点，而用x2(pq)xpq型式子分解因式其二次项系数不是1，而是m2，故在上述都不能的情况下，想方法将mx看成y，则这个二次三项式就可以化成y22y35,即可符合x2(pq)xpq型式子，故可分解因式•解：设mxy，则2原式=y22y35(y7)(y5)(mx7)(mx5)所以，m2x22mx35(mx7)(mx5)•说明：今后应细心审题观察题目的特征，若能利用整体换元的思想将多项式化为x2(pq)xpq型的式子即可因式分解