第四讲.圆锥曲线中档难度-讲义

目录TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark0"\o"CurrentDocument"目录1HYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"第一章轨迹方程2第一节道译法：2HYPERLINK\l"bookmark6"\o"CurrentDocument"第二节：定义法：6HYPERLINK\l"bookmark8"\o"CurrentDocument"第三节：相关点法：8第四节：参数法：1.0.第二章常见条件翻译转化11第一节：三角形的面积表达11第二节向量背景的条件翻译20第三节斜率、角度的条件翻译30第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值33第一节:最值问题（均值、函数）33.第二节:定点、定值50第一章轨迹方程动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标x,y所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.第一节:直译法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.【例1】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,1关于原点0对称，P是动点，且直1线AP与BP的斜率之积等于—，求动点P的轨迹方程.3解析：因为点b与点A1,1关于原点o对称，所以点b的坐标为1,1，设点Px,y，由题意得x23y21，化简得x23y24x1，故动点p的轨迹方程为3【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,1,B点在直线y3上，M点满足unruuuuuruuuuuuuuuMBPOA,MAgABMBgBA，M点的轨迹为曲线C，求C的方程。uuiruuu解析设Mx,y，因为A0,1，M点满足MB//OA，所以uuruuruuuBx,3,MAx,1y,MB0,3y,ABx,2，由题意可知uuuruuiruuu1MAMBAB0,即(x,42y)(x,2)0,即y1x22。4【例3】（2013陕西文20）已知动点Mx,y至煩线I:x4的距离是它到点N1,0的距离的2倍.（I）求动点M的轨迹C的方程；(n)过点P0,3的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.【解】(I)点M(x,y)到直线x=4的距离，是到点N(1,0)的距离的2倍，则TOC\o"1-5"\h\z2222xy|X4|2.(x1)y一一1.4322所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为；31(n)P(0,3),设A(Xi,yi),B(x2,y2),由题知：2捲0X2,2yi3y?椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。设直线m方程为:ykx3.联立椭圆和直线方程，整理得:(34k2)x224kx240xiX224k4k2,xiX22434k2TOC\o"1-5"\h\zNx2i(xix2)22xix25(24k)293———2—2k—x2x12x1x22(34k)2422所以，直线m的斜率k|22【例4】(2014新课标1文20)已知点P(2,2)，圆C:xy8y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M,O为坐标原点(1)求M的轨迹方程;(2)当OPOM时，求I的方程及POM的面积(I)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4,uuurLULT设M(x,y)，则CM(x,y4),MP(2x,2y),由题设知窝？第0，故x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(II)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP||OM|，故o在线段pm的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONpm.因为ON的斜率为3,所以丨的斜率为1，故|的方程为3y又|0PI|0M12y/2,O到1的距离为&0,|PM|,所以POM的面积为I6555【例5].(2010?大纲版1)已知抛物线C：y24x的焦点为？?过点??(-1,0)的直线??与？相交于？？？?两点，点?关于？轴的对称点为？？证明:点?在直线???上;⑵设???????=8，求厶????的内切圆？?的方程.【解答】解：(1)抛物线C:y2=4x①的焦点为F(1,0),设过点K(-1,0)的直线L:x=my-1,代入①，整理得y2-4my+4=0,设L与C的交点A(X1,y1),B(%,y2),则y1+y2=4m,y1y2=4,点A关于X轴的对称点D为(X1,-y1)..??+??4??4BD的斜率K1-??_??1~(????-1)(????1-1)=??-??1‘BF的斜率k2=??-1要使点F在直线BD上需k1=k2需4(X2-1)=y2(y2-y",需4x2=y22,上式成立，.••k1=k2,•••点F在直线BD上.2⑵？??????=(X1-1,y“(X2-1,y2)=(x1-1)(X2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=4(m+1)TOC\o"1-5"\h\z228-8m+4=8-4m二一,9.2164…m=—,m=土一.934V7y2-y1=V16??2-16=4V??-1=333•-k1=V7,BD:y=V7(x-1).易知圆心M在x轴上，设为(a,0),M到x=4y-1和到BD的距离相等，即33V7la+卅x5=|(-7(a-1)|x-^4|a+11=5|a-1|,-1vav1,1解得a=-.9•••半径r=2,31224BDK的内切圆M的方程为(x-—)+y=—.????【例6】.(2010?宁夏)设F1,F2分别是椭圆????+??=1(??>??0)的左、右焦点,过F斜率为1的直线？与？相交于？??两点，且|AF2|,|AB|,|BF21成等差数列.⑴求?的离心率;设点？?(0-1)满足|????=|????求??勺方程.【解答】解:⑴由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AFq+|B冃,4得|????=3??的方程为y=x+c，其中？?=V????.??=??F??设A(X1,y1),B(%,y2),则A、B两点坐标满足方程组｛????_矿？?=1化简的(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2—b2)=0则??+??=三卑????？=??(??_??)??+????+??因为直线AB斜率为1,|AB|=v2|xi-X2|=辺[(??+??)2-4????],44????22得3??=??+?7,故a=2b-,，亠亠??V??_??2V2所以E的离心率？?=??=--??-=三(II)设AB的中点为N(xo,y。),由(I)知??=??+?!=-2?2??=-!????=??+??=；?由|PA|=|PB|，得kpN=-1,即???1=-1得c=3,从而？?=3V2,??=3????故椭圆E的方程为亦+6=1.第二节：定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)的定义，贝U可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。【例1】M2,0和N2,0是平面上的两点，动点P满足PMPN6，求点P的轨迹方程•解析因为|PM||PN|6|MN|4，所以由椭圆定义，动点P的轨迹是以M2,022和N2,0为焦点，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为-Xy1ab0，则有ab2a6,a3，半焦距c2，所以ba2c25，所以所求动点的轨迹方程为22丄L195【例2】设圆C与两圆x.5y24,x5y24,一个内切，另一个外切，求C的圆心轨迹L的方程。解析设圆C的圆心为C(x,y),半径为r(r0)，由题意可知两圆的圆心分别为F1(5,0),F2(5,0)，半径均为2，因为圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，所以|CFi|r2ICF2Ir2ICF1|ICF2I4或|CFi|rICF2Ir|CF1||CF2|所以||CFi|ICF2||425|F1F2|，即圆C的圆心轨迹L是双曲线。22设C(x,y)的轨迹L的方程为冷彗1(a0,b0)，贝Uab2.22abc2a4c5a2b24，圆C的圆心轨迹L的方程为Xy21。14又圆A的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为(x1)y216,由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,227专1(y°)从而|AD|4，所以|EA||EB|4.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：22【例3】如图10-15所示，Fi,F2为椭圆——1的左，右焦点，A为椭圆上任因点，过43焦点F2向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，并延长F2D交RA于点B，则点D的轨迹方程是，点B的轨迹方程是解析因为BADF2AD,ADBF2,所以VADF2也VADB故bd||F2D|,|ba||F2a,又o为旺中点，所以odp^br,1OD-AF1|AF22,则点D的轨迹为以O为圆心,2为半径的圆，故点D的轨迹222为xy4(y0),同理,点B的轨迹是以F11,0为圆心,4为半径的圆，故点B的22轨迹方程为x1y16(y0).第三节：相关点法有些问题中，所求轨迹上点Mx,y的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点Mx,y相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x,y，再x,y将代入已知曲线方程，即得x,y关系式.【例1】已知A为椭圆2x252y16UJUuuu1上的点，点B坐标为2,1，有AP2PB求点P的轨迹方程•UUUULUI解析设Axo，yo,Px,y，APxxo,yy°,PB2x,1yuunujuxx022x因为AP2PB，故yyo21yX。yo3x3y2252y1623x12523y2161，因此点P的轨迹方程为24x—32591622【例2】(2011陕西理20)如图10--17所示，设P是圆xy25上的动点，点D是P4在x轴上的射影，M为PD上一点，且MD|-|PD，当P在圆上运动时，求点M的轨5迹C的方程•4解析设M的坐标为(x,y)，P的坐标为(xo,y°)，因为M为PD上一点，且|MD|=|PD|,所5TOC\o"1-5"\h\zxxoxox22以45，又P(xo,yo)在圆上，所以x('y)225，即—丄1，故点My-y。yo5y4251654(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程。解析(1)因为抛物线G：x24y上任意一点(x,y)的切线斜率为yX，且切线MA的斜2TOC\o"1-5"\h\z1111率为，所以A点的坐标为(1,一)，故切线MA的方程为y(x1)。2424因为点M(1.2,yo)在切线MA及抛物线C2上，于是yo1(2,2)1322，①244yo(J3；p2②，由①②得p2。X12X2，③22(2)设N(x,y),A(Xi,乞),B(X2,竺),xX2,由N为线段AB中点知x44222y宁，④切线MA，MB的方程为y即xX1)7，⑤X1X2XX2丁,yoT。2yX2(xX2)X2，⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(xo,yo)的坐标为xo2422因为点M(Xo,yo)在C2上，即x24yo，所以X1X2X1_x2⑦6由③④⑦得x24y,xO。当X1X2时，A,B重合于原点QAB中点N为O,坐标满足x24y。33..24因此AB中点N的轨迹方程为xy。3????【例4)(2018?全国)双曲线石-—=1,F,、F2为其左右焦点，?是以F2为圆心且过原点的圆.⑴求??勺轨迹方程；(2)动点？在？上运动,？?满足？？？?=2???；求？?的轨迹方程.【解答】解:⑴由已知得a2=12,b2=4,故c=v??+??=4,所以R(-4,O)、F2(4,O),因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)半径为4,22所以C的轨迹方程为(X-4)+y=16;⑵设动点M(x,y),p(x,yo),则????=(x+4,y),????(??-????-??)由????=2????寻(x+4,y)=2(xo-x,yo-y),3??+4??+4=2(??-??)??=—即｛??=2(??-??)解得｛??=3??,-02-因为点P在C上所以(??-4)2+??2=16,代入得C3??^-4)2+(善?2=16,化简得(??-3)2+??=694.第四节：参数法有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现(或经分析可发现)该动点常常受到另一个变量(角度，斜率，比值，解距或时间等)的制约，即动点坐标x,y中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法(或设参消参法)，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响x22【例1】已知过点D2,0的直线1与椭圆庁y1交于不同的两点A,B，若uuuuuuuuuOPOAOB，求点P的轨迹方程。解析依题意知，直线的斜率一定存在。(1)若直线斜率为零，即I为x轴时，则点P为(0，0)；(2)当直线斜率存在且不为零时，设斜率为k，则I:yk(x2)。xx1x2设A(X1,yj,B(X2,y2),P(x,y)，由题意可得。yy1y2yk(x2)2222x22y22，消去『，整理得(12k)x8kx8k20。(因为点D在椭圆外，需考虑判别式)要使得I与椭圆有两个不同的交点，得V0,222221即V(8k)4(12k)(8k2)0，解得k一。8k28k2X1X2~2"x~2"12k，所以12k，两式相除得x2k，即kx4k4ky2yy1y2心x4)2y212k12k代入得yy，整理得x212(2Xy)24x2y20(2x0)。2x点(0,0)也满足x24x2y20，综上所述，点P的轨迹为x24x2y20(2x0)o评注在圆锥曲线中涉及直线与圆锥曲线位置关系时，一般都联立直线与圆锥曲线方程,再用韦达定理，该法非常普遍和实用。第二章常见条件翻译转化第一节：三角形的面积表达一、直线I与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程AxByc0代入圆锥曲线C的方程Fx,y0,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的AxByc02一元二次方程”即，消去y后得ax2bxc0Fx,y0当a0时,即得到一个一元一次方程，则I与C相交,且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴平行当a0时，0,直线I与曲线C有两个不同的交点；0,直线I与曲线C相切，即有唯一的公共点(切点);0,直线I与曲线C二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线I:fx,y0,曲线C:Fx,y0,A,B为I与C的两个不同的交点，坐标分别为fx,y0Ax1,y1,Bx2,y2,则A^,%,B%,y2是方程组的两组解，Fx,y0方程组消元后化为关于x或y的一元二次方程Ax2Bxc0(A0),判别式22B4AC,应有0,所以X1,X2是方程AxBxc0的根，由根与系数关系(韦达定理)求出X1X2B,^X2C,所以A,B两点间的距离为AAAB71k2公式也可以写成关于ABk2yiX2■1k22X1X24X1X2y的形式1k2.y1y224y°2y2,1k2-,即弦长公式，弦长IA三、三角形面积求法方法1亠—底咼2〔absinC211拆分:s2吋2业1y』,s-IF1FJIX1x2|适合题型一切题型边角已知的题过定点的题备注不一定简单简单简单????【例1】.(2008?湖北)已知双曲线????-??=1(??>0,??>0)的两个焦点为??(-2,0),??(2,0),点??(3,V7)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程;(2)记0为坐标原点，过点Q(0,2)的直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，若VOEF的面积为2v2,求直线I的方程.????【解答】解:(1)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为询-=1(0va2v4)97将点(3,v7)代入上式解得a2=18(舍去)或a2=2,????故所求双曲线方程为?？--1.⑵依题意可设直线I的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0.•••直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,...{1-??工022?{?—△=(-4??)2+4X6(1-??2>0•-v?Mv3•••k€(-v3,-1)U(1,v3).4??6设E(x,yi),F(崔y2),则由①式得xi+X2=石?空/伙2=-^-??^,于是,1EF=V(??-??)4??2所以椭圆的方程为x2+—=1,抛物线的方程为y2=4x.⑵解:直线I的方程为x=-1,设直线AP的方程为x=my+1(m工0),??122联立方程组{?????+[,解得点P(-1,-??),故Q(-1,??).+(??-??)2=V(1+??)(??-??)2=V1+???7(??+??)2-4????=V1+??护72力-??|1-??2|而原点O到直线I的距离d=2^，vi+??2122<2v3-??22辺v3-??2•••&OEF=-???|????=-?时？V1+???-^^=-7^22-^3??2若S^ef=2v2,即丄2__=2紡？??-??-2=0,解得k=±v2,I1-??2|满足②•故满足条件的直线I有两条，其方程分别为y="??■2和？?=-v2??+2.????【例2】.(2017?天津)设椭圆石+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离1心率为2.已知A是抛物线y22px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线I的距离为~2求椭圆的方程和抛物线的方程；设I上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQA与x轴相交于点D若VAPD的面积为■，求直线AP的方程.【解答】(1)解:设F的坐标为(-c,0).??=1??2??12223依题意可得？?=2?解得a=1,c=；,p=2,于是b=a-c=~.41???2丄{..…2??=????1联立方程组｛?2+4??_〔，消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,3TOC\o"1-5"\h\z6??-3??2+4-6??解得y=0,或y=-2—…B(-2,2).3??2+43??2+43??2+47-6??2-3??2+42•••直线BQ的方程为(3???+4-刃时)-(而科+1)(y-刃)=0,2-3??22-3??22-3??26??令y=0,解得x=2—，故D(2—,0).二|AD|=12—=23??2+23??2+23??2+23??2+2—,v616??22v6又APD的面积为一,.••X2—乂=一,23??2+2|??|2—v6v6整理得3m-2V)|m|+2=0,解得|m|=一,：m=±一.3I•••直线AP的方程为3x+v6y-3=0,或3x-v6y-3=0.【例3】(2014四川文)已知椭圆21(ab0)的左焦点为F(2,0),离心率为b,63(1)求椭圆C的标准方程；⑵设O为坐标原点,T为直线xOPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形(1)由已知得:C■所以a.6a3m0m3(2)又由a2b2c2,解得b、2所以椭圆的标准方程为：⑵设T点的坐标为(3,m),则直线TF的斜率kTF1当m0时，直线PQ的斜率kpQ—，直线pq的方程是m当m0时，直线PQ的方程是x2也符合的形式.将代入椭圆方程得:.22其判别式16m8(m3)0•设Pg,%),Q(X2,y?),TOC\o"1-5"\h\znt4m2/、，12则小y22C，%y22c，X1X2m(y1y2)42jm3m3m3uuuuur因为四边形OPTQ是平行四边形所以OPQT,即(X1,%)(3X2,my?).12TOC\o"1-5"\h\zx-ix2一23所以m3解得m1•此时四边形OPTQ的面积4my1y—2mm3SOPTQ2SoPQ22|OF||y1山2第勢3)223.【例4】.(2018?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(霭冷)焦点Fl(-■,3,),F2('、3,0)，圆O的直径为FlF2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；J6②直线l与椭圆C交于A,B两点若VOAB的面积为一厂,求直线I的方程.????【解答】解：(1)由题意可设椭圆方程为??+??=1,(??>??>0),Fi(-v3,0)冋v3,0),「.??=V3.1??+4??==又a-b=C=3,解得a=2,b=1.??•椭圆C的方程为:二+??=1,圆O的方程为:x2+y2=3.4(2)①可知直线I与圆O相切，也与椭圆C,且切点在第一象限，因此k一定小于0,•••可设直线I的方程为y=kx+m,(kv0,m>0).??2由圆心(0,0)到直线I的距离等于圆半径v3,可得=3,即？？=3+3??.??=??????222由｛??+4??=4可得(4k+1)x+8kmx+4m-4=0,△=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,可得m2=4k2+1,：3k2+3=4k2+1,结合kv0,m>0,解得k=-艮,m=3.22将k=-艮,m=3代入｛??=???=??可得??-24??2=0,解得x=v2,y=1,故点P的坐标为（v2,1）.②设A（xi,yi）,B（x^,y2^33因为x023y。24所以y。，故存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点9）,2?0,??>0由｛??=3+3???k<-辺.△>0联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0,24也？字+1-??21X2-xi|="（??+??-4????=—4?字+1O到直线I的距离d=l??lv1+??2【例5】.(2010北京例19)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1关于原点O对称,24也？字+1-??2|AB|=5+??|X2-刈=—的?^△OAB的面积为14也?？+1-??22|??|14V?f-2IIv6S=2%4?字+1?"+?'Xv1+??2=2%4?字+1乂“+?•X7解得k=-v5,（正值舍去）,m=3v2.•••y=-v5??f34为所求.P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M,N,问：是否存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.若存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等，设点P的坐标为(x°,y°)则1|PA|g|PB|sinAPBg|PM|gPN|sinMPN，因为sinAPBsinMPN,所以|PA||PN|所以|PM||PB|IX01||3X0I|3x°||x1|225即（3沧）|x°1|,解得x°-3P的坐标为(?，一33).9【例6】.(2016?新课标川)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线li，I2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点.若F在线段AB上,R是PQ的中点证明ARPFQ;若VPQF的面积是VABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【解答】⑴证明连接RF,PF由AP=AF,BQ=BF及AP/BQ,得/AFP+/BFQ=90°•••/PFQ=90°,vR是PQ的中点，二RF=RP=RQ/.^PAR^AFAR,•••/PAR=ZFAR,/PRA=ZFRA：/BQF+ZBFQ=180°-/QBF=ZPAF=2ZPAR,J/FQB=/PAR,-/PRA=/PQFJ.AR//FQ(2)设A(X1,y1),Bg,yO,1、、111f£,0),准线为x=-2’S\pqf=2|PQ|=2|屮-y2|,1设直线AB与x轴交点为N,.・.Saabf=^|FN||y1-y?|,•••△PQF的面积是△ABF的面积的两倍J2|FN|=1,二xn=1,即N(1,0).AB中点为2"得??2-2??1??2=2(xi-X2)又??-??2????-??2=??-1??122--??〒=??即卩y=x-1.-AB中点轨迹方程为y=x-1.????【例7】.(2018?天津)设椭圆帝+茹=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为¥‘|AB|帀.(1)求椭圆的方程；⑵设直线丨：ykx(k<0)与椭圆交于P,Q两点，？与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限若VBPM的面积是VBPQ面积的2倍，求k的值.??5【解答】解:⑴设椭圆的焦距为2c,由已知可得=9,又a2=b2+c2,TOC\o"1-5"\h\z????解得a=3,b=2,二椭圆的方程为+=1,94(2)设点P(x,yi),M(X2,y2),(x>xi>0)则Q(—xi,-yi).•••△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,二|PM|=2|PQ|，从而X2—xi=2[xi—(—xi)],2??+3?壬66•••x2=5x1,易知直线AB的方程为:2x+3y=6.由｛??'????，可得？？=3??+2>0.由｛???；???=36可得??=6?,?"9??+4=5(3??+2),?18k2+25k+8=0,■■=■■■■“9??+481解得k=-；或k=—-.92621由？？=3??+2>0.可得k>-3,故k=—歹【例8】.(2017?北京)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),(2,0),焦点在x轴上，离心率为乎.(1)求椭圆C的方程；⑵点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:VBDE与VBDN的面积之比为4:5.??????【解答】解：(1)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程:？2+材=1(a>b>0),222贝Ua=2,e=??=m,贝Uc=v3,b=a—c=1,??•••椭圆C的方程■?+??=1;(2)证明:设D(x°,0),(—2vxoV2),M(xo,yo),N(x。,—y°),y°>0,由M,N在椭圆上，则£+??=1，则xo2=4—4yo2,则直线AM的斜率kAM二??~°~=;??—,直线DE的斜率kDE=—■?+2-??+2??+2??直线DE的方程:y=—?°+2(x—xo),??-??0-??0直线BN的斜率kBN=——，直线BN的方程y=——(x—2),??-2??-2+2OG?nxuoo0・0・?72)+2"??54-54-??过E做EH丄x轴,△BHEs^BDN,TOC\o"1-5"\h\z4?3丨？？？？4则丨EH丨二则七，5I????5•••:△BDE与厶BDN的面积之比为4:5.【例9】.(2011湖南理21)如图7,椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长求,的方程；设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点，直线mamb分别与相交与DE证明:;记VMABVMDE的面积分别是S,S2.问:是否存在直线使得=?请说明理由.解析:⑴由题意知e——从而a2b又2/ba,解得a2,b1.a2X222故,的方程分别为一y21,yx21.4(II)(i)由题意知，直线的斜率存在，设为k,则直线的方程为ykx.,ykx…2由2得xkx10,设A(x「yjB(X2,y2),则捲必是上述方程的两个实yx1根，于是捲X2«恥21.又点M的坐标为(0,1)所以故，即.(ii)设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为.又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.于是由得，解得或则点的坐标为.又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.于是•因此.由题意知,,解得或•又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和第二节：向量背景的条件翻译【例1】.(2008?辽宁)在平面直角坐标系xOy中，点?到两点(0,-V3),(0,昉)的距离之和等于4,设点？?勺轨迹为??(1)写出？的方程;(2)设直线？?=????1与？交于？??两点.?为何值时???!????此时|????勺值是多少?【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,-v3),(0,V3)为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴？?=V22-(V3)2=1,??故曲线C的方程为??+4=1.(4分)⑵设A(X1,y1),Bg,yO,其坐标满足｛■-+4=1??=????1消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,故？？+??=-4??,????=-^^.(6分)TOC\o"1-5"\h\z??+4??+4???2????卩X1X2+y1y2=0.而yy=kX1x2+k(X1+x2)+1,于是？??？+????=-¥-4?^-4?^+1=-4??+1??+4??+4??+4??+4所以??=±,X1X2+y1y2=0,故？??2????8分)1412F22当??±2时,??+??=?4,????=-12.|????=M??-??)+(??-??)=彳1+??)(?2-??)2,22424X343X13而(X2—xi)=(X2+X1)—4X1X2=2+4X=厂,17217172所以|????=4V75.(i2分)????【例2】.(2008?海南)在直角坐标系？???中椭圆G：?2+齐=1(??>??>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2：y24x的焦点，点M为G与C2在第一象5限的交点且|MF2|3.3(1)求G的方程；(2)平面上的点N满足？??会????+????,直线IPMN，且与G交于A,B两点若???????=0,求直线？的方程.2【解答】解:(1)由C2：y=4x知F2(1,0).5设M(x1,y1),M在C2上,因为|????=|,所以??+1=5,得??=3,??=2『.M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1,于是｛9??+3??=1??=??_1.消去b2并整理得9a4-37a2+4=0,解得a=2(??=£不合题意，舍去).????故椭圆C1的方程为4+3=「⑵由????+???2?=???知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O,故l的斜率??=v6.设I的方程为？?=v6(??-??)因为I//MN,所以I与OM的斜率相同，7229x-16mx+8m-4=0.由｛3??+；??=12消去并化简得??=x6(??-??)8?字-4916??设A(x1,y1),B(x2,y2),??+??=—9??,????=因为？？？2???所以X1X2+y1y2=0.2xiX2+yiy2=xiX2+6(xi—m)(X2—m)=7x1X2—6m(xi+X2)+6m8??2-416??212=7?—9一-6???g'+6??2=9(14??2-28)=0.所以??=土辺.此时△=(16m)2—4x9(8m2—4)>0,故所求直线I的方程为？?=v6?2213或？?=v6??h2V3.????_【例3】.(2009?北京)已知双曲线????-??=1(??>0,??0)的离心率为V3,右准线方程为？?=v33求双曲线？的方程；设直线?是圆O:x2y22上动点P(x0，y0)(x°y。0)处的切线,?与双曲线C交于不同的两点A,B,证明AOB的大小为定值.??=V3【解答】解：(1)由题意,{??3解得a=1,c=V3,b2=c2—a2=2,??v3??•••所求双曲C的方程??-2=1.22⑵设P(m,n)(mn工0)在x+y=2上,??圆在点P(m,n)处的切线方程为y-n=—刁x-m),化简得mx+ny=2.??_{?■-2=1以及m2+n2=2得(3m2—4)x2—4mx+8—2m2=0,???+????2•••切L与双曲线C交于不同的两点A、B且0vm2V2,3m2—4工0,且厶=16m2—4(3m2—4)(8—2m2)>0,4??8-2??2设A、B两点的坐标分别(X1,y1),(%,y2),X1+X2=3??24庄必=3??24*/????????•/??????/??????■…厶一；|????|????[・.■I■■I■■・]・ff1且???????=????+????=????+'2(2-????)(2-????)??28-2??218??2??2(8-2??2)=xiX2+2?刃4-2m(X1+X2)+mxix2]=3??2-4>2-??2[4-3??2-4'3??2-4]8-2??28-2??2==03??2-43??2-4•••/AOB的大小为900.【例4】.(2014?新课标2)设R,F2分别是????+為=1(a>b>0)的左,右焦点,??是？上一点且MF?与？轴垂直，直线MF1与？的另一个交点为？？3若直线？??的斜率为-，求?的离心率；4若直线？??在？?由上的截距为2,且|MN|5|RN|,求？??？【解答】解:(1)vM是C上一点且MF2与x轴垂直,????•••M的横坐标为c,当x=c时$=玄?,即M(c,R,TOC\o"1-5"\h\z匕？？3MN的斜率为—，即tan/MFF2=—==333即b2=j?=a2-c2,即八3??喀=0,则??+卽?1=o,即2e2+3e-2=01解得e=2或e=-2(舍去)，即e=2(2)由题意原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中????????点，设M(c,y),(y>0),则??+??=1,即??=??，解得y=??,??2OD是厶MF1F2的中位线，二~??=4,即b=4a,由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|RN|解得|DF1|=2|F1NI,即？???=2???1设N(X1,y1),由题意知y1<0,则(-c,-2)=2(X1+c,y);?\?J21-2????fl1?4得程方圆椭入住?3-21将b2=4a代入得9(?：；??)+-??=1，解得a=7,b=2V7.4?字4??【例5】.(2012?重庆)如图,设椭圆的中心为原点？?长轴在？轴上，上顶点为？?左、右焦点分别为%F2,线段OR,OF?的中点分别为Bi，B2,且VAB£2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；⑵过Bi作直线交椭圆于P,Q两点，使PB2QB2,求VPB2Q的面积.????【解答】解:⑴设椭圆的方程为祈+诵=1(??>??>0),E(c,0)•••△AB1B2是的直角三角形」ABi|=AB2|,•••/B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2I,??即??=?'2222222??2—•••c=a-b,Aa=5b,c=4b，二??=??=5v5在厶AB1B2中,OA丄B1B2,.・.S=2|BR||OA|=2???=??222•••S=4,ab=4,二a=5b=20????•••椭圆标准方程为亦盲=1；⑵由(1)知Bi(-2,0),B2(2,0),由题意，直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my—2代入椭圆方程，消元可得(m2+5)y2-4my—16=0①设P(x1,y1),Q(x2,y2),A??+??=羅,？??？=羔•••????=(??-2,??),????=(??-2,??)•••?????????=(??-2)(?2-2)+????=-16??+54TPB丄QB2,.・.？？？？?？？？？=0•-16?鶯4=0Jm=±2当m=土2时，①可化为9y2±8y-16-0,28•••|yi-y2|=V(??+??)2-4????=9V1O18^—16:.△PB2Q的面积S=—|B1B2IIyi-y2|=—X4X—“0=—“0.2——【例5】.(2013?福建)如图抛物线E:y24x的焦点为F，准线?与?轴的交点为？?点?在抛物线？上，以？为圆心,|???为半径作圆，设圆？与准线？交于不同的两点？？,?？(1)若点？的纵坐标为2,求|????；⑵若|AF|2|AM|?|AN|,求圆？?勺半径.【解答】解：(1抛物线E#=4x的准线l:x=-1,由点C的纵坐标为2,得C(1,2)故C到准线的距离d=2,又|OC|=v5,•••|MN|=2“？??？卜??=2v5^4=2.TOC\o"1-5"\h\z??????(II)设C(',y°),则圆C的方程为(x-')+(y-yo)2=“+??4160????即x2—2-?+y2-2y°y=0,由x=-1得y2-2y°y+1+^-=0,△=4??-4(1+身)=2??-4>0设M(-1,y1),N(-1旳,则0220{?"?=：?+12由|AF|=|AM|?AN|,得|y1y2|=4,??_二1+〒=4,解得yo=±v6,此时△>0…亠,一3_2?33即圆C的半径为c.2—33“33圆心C的坐标为$,±“6),|OC|2=—从而|OC|=????【例6】.(2014?湖南)如图,??为坐标原点，双曲线G：二-2=1(印>0,4>0)和????ov3椭圆C2：?j+谆二1(a?〉b2>0)均过点??甘,1),且以C的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.⑴求G、C2的方程；(2)是否存在直线l,使得I与Ci交于A、B两点,与C2只有一个公共点,且|????????=|?????证明你的结论.【解答】解:⑴设椭圆C2的焦距为2q,由题意可得2ai=2,•••ai=1,C2=1.丄十-2V3._2违21o由于点P(3，1)在上，•(233)—??2=1，??°=3,•••双曲线Ci的方程为:x2—??=1.322再由椭圆的定义可得2a2=V(233-0)+(1-1)2+^(233-0)+(1+1)2=2v3,?乡？？•••?/二？?2-?卩=2,•••椭圆C2的方程为r-+-=1.2(2)不存在满足条件的直线I.⑴若直线I垂直于x轴，则由题意可得直线I得方程为x=v2,或x=—v2.当x=v2时可得A(v2,v3)、B(v2,-v3)求得|???+???字2V2,|????=2v3,显然???+???狞|????同理，当x=—^2时，也有|???+???治|??????=??????(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为y=kx+m,由｛2??可得2222??????2+3(3—k)x—2mkx—m—3=0,•Xi+X2,Xi?X2=?<^3•??-吕=1--33-??2十口-.2-.,、23?九3??2TOC\o"1-5"\h\z于是,y1?y2=kX1?X2+km(X1+X2)+m=??3??=??????由｛????可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2—6=0,根据直线I和Ci仅有一个交点,一+一=1321--判别式△=16km—8(2k+3)(m—3)=0,二2k=m—3.TT一？？2_3TT2TT2•-???????=X1?X2+y1?/2=工0,•••(???+????工(????????,|???????7^|????II■I■■"I-2【例7】.(2016?上海)双曲线x2(b>0)的左、右焦点分别为％F2,直线？过bF2且与双曲线交于A,B两点.??(1)直线?的倾斜角为yVRAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；⑵设??=霸若?的斜率存在且(???+?????????0,求?的斜率.??【解答】解:(1)双曲线x2—??=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,直线I过F2且与双曲线交于A,B两点,??直线I的倾斜角为F1AB是等边三角形，v3可得:A(c,b2),可得:〒?2??=2?0b4=4(a2+b2),??即3b4—4b2—4=0,b>0,解得b2=2.所求双曲线方程为：x2-y=1,其渐近线方程为y土v2x.-2??(2)b=v3,双曲线x—亍1,可得Fi(—2,0),F2(2,0).3??-??1设A(X1,y1),B(%,y2),直线的斜率为：k=¥1??-??1直线I的方程为:y=k(x-2),??=????2??由题意可得:{2??，消去y可得:(3—k2)x2+4k2x—4k2—3=0,??-才二1--34?夕△=36(1+k2)>0且3—k2工0,可得X1+X2二??y,4?字12??则yi+y2=k(xi+X2―4)=k(??^―4)=^^.???字区+2,屮),???字区+2闽,(????■?????????)可得：(xi+X2+4,yi+y2)?(xi—X2,yi—y2)=0,4?字12??可得X1+X2+4+(y1+y2)k=0,得?2可+4+?2才？*=0可得:k2=5,解得k=土罟5l的斜率为:±.5【例8】.(2017?新课标2)设?为坐标原点，动点？?在椭圆C:[y21上，过??作??轴的垂线，垂足为？?点？满足????v2????求点？的轨迹方程；设点？衣直线？?=-3上，且？?？????1.证明:过点？且垂直于???的直线？过？?勺左隹占??丿\\、丿\\、・・【解答】解:⑴设M(xo,y°),由题意可得N(x°,0),TT设P(x,y)由点P满足????v2???W得(x-X0,y)=v2(0,y。)，??代入椭圆方程77+y2=1,可得；-+亍=1,222即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(—3,m),P(v2cosa,v2sina),(0b>0)的离心率为亍焦距为2迈斜率为？的直线?与椭圆？?有两个不同的交点？???(1)求椭圆？？勺方程；⑵若??=1,求|AB|的最大值;⑴)设P(-2,0)，直线PA与椭圆？？勺另一个交点为？?直线???与椭圆？？勺另一个交点为？?若???和点Q(-7,1)共线，求??【解答1解:(1)由题意可知:2c=2v2,则c=V2椭圆的离心率e=f=f则a=v3,b2=a2-c2=1,•••椭圆的标准方程—+??=1;3(2)设直线AB的方程为:y=x+m,A(X1,y1),B(%,y2),??=??f??2222联立｛??甬一，整理得：4x+6mx+3m-3=0,△=(6m)-4X4x3(m-1)>0,T+■■=12整理得:mv4,3??3(??2-1)X1+X2=-,X1X2=4•••|AB|=^1+??"(??+??)2-4????=亨v4-?叽•••当m=0时」AB|取最大值，最大值为^6;????⑴)设直线PA的斜率也=莎+2,直线PA的方程为:y=〒2(x+2),11?上屛？(??+2)联立｛??彳2??+??=1一-222222消去y整理得：(xi+4xi+4+3yi)x+12屮x+(12屮-3xi-12xi-12)=0,由¥+??=1代入上式得,整理得：(4x1+7)x2+(12-4x12)x-(7x12+12x1)=0,TOC\o"1-5"\h\z(7?/；2+12??1)7??+12??7??+12??X1?xc=-,xc=-，贝卩yc=(-+2)=,4??+74??+7'??+2、4??+74??+77??+12??卡7??+12??'4??+74??+7h'4??+74?/2+7771-14??-4??仁7-14??-4??2-7),由Q(-,)，则????，—),????(—4'4(4??1+7)4(4??1+7)'4(4?$+7)4(4??2+7)-亠-14??-4??2-714??-4??1-7则4(4??|+7)4(4???+7)4(4??2+7)4(4??,+7)‘??_??2整理得:y2-x2=y1-刘,则直线AB的斜率k^~2=1,??-??2•••k的值为1.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.(2018?新课标1)设抛物线C:y22x,点A(2,0),B(-2Q,过点？的直线?与?交于????两占■-J--J-八、、・当？与？轴垂直时,求直线？??的方程；证明：/??????/??????【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2，代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,-2),、11直线BM的方程:y=2x+1,或:y=-尹-1.(2)证明:设直线I的方程为l:x=ty+2,M(xi,yi),N(X2,y2),联立直线I与抛物线方程得｛??==?2>??2,消X得y2-2ty-4=0,即y计y2=2t,yiy2=-4,????????????(子X?*#X??+2(??1+?盘)(？？+?$)(-^+2)(??+2)(??2+2)贝U有kBN+kBM=1===0,??+2??+2(??+2)(??2+2)(??+2)(??2+2)所以直线BN与BM的倾斜角互补,•••/ABM=/ABN.2【例2】.(2018?新课标1)设椭圆C:+y21的右焦点为？?过F的直线?与？交于???两点，点??勺坐标为(2,0).(1)当？与？轴垂直时,求直线？??的方程；⑵设？为坐标原点，证明：/??????/??????【解答】解:(1)c=v2-1=1,AF(1,0),Vl与x轴垂直，二x=1,??=1??=1??=1由｛??+??=卞解得%"2或｛??=-吃v2v2-A(1亏)，或(1,-歹),a直线AM的方程为v2-V-y=--Tx+v2,y^-x-辺,证明:(2)当l与x轴重合时，/OMA=/OMB=0当I与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线，a/OMA=/OMB,当I与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1),kM0,A(X1,y1),B(>c,y2)则X1??>0)经过点？?(0-1)，且离心率为#(1)求椭圆？的方程;⑵经过点(1,1),且斜率为？的直线与椭圆？交于不同的两点？???均异于点？?，证明:直线???与???斜率之和为2.??v2【解答】解:⑴由题设知,?右,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=v2,所以??+y2=1;(2)证明:由题意设直线PQ的方程为