18知识讲解_对数及对数运算_基础

【变式1】 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数ylog2x1(x2)的定义域为.对数及对数运算【学习目标】1理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；了解常用对数与自然对数的意义；3•能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4•了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 .5•能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.【要点梳理】要点一、对数概念1对数的概念如果aNa0,且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a1,N>0,bR.对数logaNa0,且a1具有下列性质：0和负数没有对数，即N0;1的对数为0，即loga10；底的对数等于1,即logaa1.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN.以e(e是一个无理数，e2.7182)为底的对数叫做自然对数，logeN简记作InN.对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示.指数式对数式指数对数|年真数「4NlogAN-b底数由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知logaM,logaNa0且a1,M、N0正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；logaMNlogaMlogaN推广：logaN1N2LNklogaN1logaN?LlogaNk叫、怡丄、心0两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；MlogalogaMlogaNN正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；logaMlogaM要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是的：loga(MN)=logaMlogaN,loga(M-N)=logaM-logaN,MlogaMloga—NlogaN要点三、对数公式1.对数恒等式：baN错误logaNaNlogaNb2.换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在(1)logaMlognMn(nR)a令logaM=b,则有ab=M,(ab)n=Mn,即(an)ba>0,a^1M>0的前提下有：n,即bloganMn,即:logaMloganMn•logcM(2)logaM-logcalogcablogcM(c0,c1)(c0,c1),logaM=b,有ab=M即blogcalogcM,即b严(c0,clogca当然，细心一些的同学会发现((2)还可以得到一个重要的结论1logab(a0,a1,b0,b1).logcMc，即logaMlogca1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)1)又有它的灵活性.而且由logba【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围:(1)log2(x【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】(1)【解析】(1)(2)由题意5)；(2)|ogx5；(2)x由题意2x50,0,0,且x12(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1).1,且x2；(3)x1且x0,x1x5，即为所求.1,2,1且xx1,且x(3)由题意2,(x1)20,x10,且x11,解得x1且x0,x1.【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.举一反三：1」【答案】x|x丄且x12类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：(1)log2164；(2)log1273【解析】运用对数的定义进行互化.341(1)216(2)-333;(3)log3x3；(4)5125；(5)23127(3)、.3x；(4)log51253；(5)log2-21；(6)logi93【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：12(1)^16x1(2)^x86(3)lg10OO=x(4)-2^x【答案】(1)1；(2)..2；(3)3；(4)-4.4TOC\o"1-5"\h\z【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.1112222(2)11x(16)2(42)2424141111x68,所以x(x6)6(8)6(23)6222；10x=1000=103,于是x=3；x由2lne2x,得xIne2,即e2e2所以x4.2【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：log24;log28;log232并比较.TOC\o"1-5"\h\z【解析】log24log2222;3log28log223;5log232log225.类型三、利用对数恒等式化简求值32322lg103例3.不用计算器计算：logs27lg25lg47log72(9.8)°【答案】1323【解析】原式log332lg(254)21132log-36log-"2)1log-2log-36log-"2)1log-2【总结升华】对数恒等式alogaNN中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求a【答案】NlogablogbclogcN的值(a,b,c€R+,且不等于1,N>0)【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算.logablogbClogcNlogablog©clogcNlogbClogcNa(a)(b)类型四、积、商、幕的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】logcN(blogbc)logcClogcNN.例4.用logaX,logay,logaZ表示下列各式(1)loga貧⑵loga(x3y5);⑶loga=(4)logyz【解析】(1)logaxylogaxlogazloga(x3y5)logax3logay5—log^.xloga(yz)yz(3)logaylogaz；3logax5iogay；logaylogaz；logax^y=loga(x2y)logaVz2logVz【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们•在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幕的对数运算对应着对数的和、差、积得运算.举一反三：【变式1】求值2log5253log2648log101【答案】(1)22；(2)1；(3)2.x1logay1logaz-23(2)lg2lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)2【解析】(1)2log5253log2648log1012(2)(3)log5523log22680418022.原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.=lg2+lg5=1类型五、换底公式的运用例5.已知log189a,18b5，求log3645.【答案】乞上2a【解析】解法一：Qlog-9a,18b5,log185b,于曰log-45log-(95)log-9log-5丁是log3645ab181log18-9-10log431解法二：Qlog189a,185,log185b,lo®845log18(95)log1836疋log3645log189log185aba解法三：Qlog189ba,185,lg9alg18,lg5blg18,log3645lg45lg36lg(95)lg9lg5alg18blg18abl182lg92lg18lg92lg18alg182a解法四：Qlog189aa,189.又Q18b5,455918bgl8a18ab令log3645x，则36x4518ab,2log1818log1892x1818x即36(右)33l182xlog18a9ab2'a18b.b,(导18abx—log1818log"【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质.（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.（3）解决这类问题要注意隐含条件“ogaa1”的灵活运用.举一反三:【变式1】求值：（1）5【答案】（1）5；（2）4【解析】（1）（log43(log43log83)(log322；(3)空925log83)(log32log92)；(2)log89log2732；(3)-log3592log92)（沁业）（也2log24log28logs2)logs9」og23(丁log23、“c計)(也2log32)2log23-logs2⑵log89log27321（3）法一：92logs5lg9lg32lg8lg27i2(232空33lglog35)31log3255lg23lg33log355325109；325ilog35法二：92192log9251929log925325类型六、对数运算法则的应用例6.（2016春陕西期中）计算316754⑴(爲)4log3log3-8145(2)|g142lgfIg7Ig18⑶log2(log232log232log436)3log321log52(4)393595【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可.【答案】(1)；(2)0；(3)3；(4)44.8【解析】(116舟5424(；)542727)()4log3-log3-()4log30814534588(2)原式=lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg|72lg3lg20(3)原式=log2(5log213log2262)log2(5log234log?6)log?833log32515呱23log321log523(4)3532725244.举一反三：【变式1】计算下列各式的值22233(1)lg5§lg8lg5gg20lg2;(2)(lg2)3lg2gg5(lg5).【答案】(1)3;(2)1.22【解析】(1)原式=2lg52lg2lg5(2lg2lg5)lg2=2lg10(lg5lg2)2=2+1=3；(2)原式=lg2lg52222lg2lg2gg5(lg5)+3lg2gg5=lg22lg2^g5(lg5)2=lg2lg51.【变式2】已知f(x)了,X(1,0)，则f(log43)4X,x(0,1)【思路点拨】判断出0log431，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解.【答案】3【解析】•••f(x)(1,0)•-f(log43)4109433,故答案为：3